Valores propios para automorfismos Anosov torales

Question

Es bien sabido que en cada toro de dimensión $d$ existen automorfismos Anosov lineales.

Mi pregunta es la siguiente:

Dado $k

Esto se puede expresar en términos de matrices con coeficientes enteros (por favor, añadir las etiquetas relevantes correspondientes) como:

Dado $k

Alguna información relevante relacionada se puede encontrar en este artículo (http://arxiv.org/pdf/1009.2994v2.pdf), donde se mencionan algunos resultados de W. Duke, Z. Rudnick, P. Sarnak, así como de Nevo y Sarnak.

Answer 1

Esta es solo una respuesta parcial, la cual eliminaré si encuentro una mejor. Cada par $(k,d)$ de la forma $$d=\frac12\phi(n),\qquad k={\rm card}(\frac{n}{6}\le j \le\frac{n}{2},j\wedge n=1)$$ está bien: toma el polinomio ciclotómico $\Phi_n$ y forma el polinomio irreducible $P_n\in{\mathbb Z}[X]$ definido por $$\Phi_n(t)=t^{\frac{n}{2}}P_n\left(t+\frac1t\right).$$ Las raíces de $P_n$ son los números $2\cos\frac{2j\pi}{n}$ con $j\wedge n=1$, menores que $1$ si y solo si $\frac{n}{6}\le j \le\frac{n}{2}$.

Si en cambio $k=d-1$, toma cualquier número de Pisot. Editar (después del comentario de Nikita abajo): Se puede tomar la matriz compañera de $X^d-X^{d-1}-\cdots-X-1$. Su única raíz de módulo mayor que $1$ es un número de Pisot, también llamado número multinacci. Si $d=2$, este es solo el número áureo, en la base de la secuencia de Fibonacci, de ahí la `palabra' multinacci.

Answer 2

Dado $k < d$, siempre se puede construir un polinomio mónico irreducible sobre $\mathbb Q$ con exactamente $k$ raíces menores que 1 en módulo y $d-k$ raíces mayores que 1 en módulo. Esto se sigue de la construcción general de unidades algebraicas, es decir, cada grupo de unidades de un campo algebraico contiene una unidad con un dado $k$ -- ver, por ejemplo, [Borevich y Shafarevich].

Luego simplemente puedes tomar la matriz compañera de dicho polinomio.

¿O necesitas una construcción explícita?