Co-productos en $\text{Ab}$

Question

Actualmente estoy tratando de entender por qué finito de productos y co-productos en la categoría de $\text{Ab}$ coinciden. De hecho, ni siquiera estoy seguro de que puedo mostrar. Mi pregunta es la siguiente:

Hay una forma intuitiva de entender por qué finito de productos y co-productos en $\text{Ab}$ coinciden, mientras que el mismo no es cierto en $\text{Grp}?$

Como para la formalización de la dirección, no estoy seguro de si me han demostrado que los dos coinciden. La idea es mostrar que $G\times H$ satisface el universal propiedad de co-productos para $G,H \in \text{Obj}(\text{Ab})$.

Intento

He definido la inclusión de las funciones de $\iota_G:G\longrightarrow G\times H$$\iota_H:H\longrightarrow G\times H$$\iota_G(g)=(g,1_G)$$\iota_H(h)=(1_H,h)$. Supongamos $\varphi:G\longrightarrow K$ $\psi:H\longrightarrow K$ son homomorphisms. Para mostrar $G\times H$ es un subproducto en $\text{Ab}$, entonces necesitamos para construir una función única $\tau:G\times H\longrightarrow K$ tal que $\varphi=\tau\circ\iota_G$$\psi=\tau\circ\iota_H$. Como tal, he definido por $\tau$$\tau(g,1_H)=\varphi(g)$$\tau(1_G,h)=\psi(h)$. Creo que esto debería funcionar ya que para todas las $(g,h) \in G\times H$ tenemos $(g,h)=(g,1_H)*(h,1_H)$, por lo que mediante la definición de $\tau$, de modo que $\tau(g,h)=\tau(g,1_H)*\tau(h,1_H)$ todo debería funcionar.

Answer 1

La categoría de $\mathsf{Ab}$ de abelian grupos y sus homomorphisms es un ejemplo de un preadditive categoría. En un preadditive categoría, las nociones de (finitary) producto y subproducto coinciden, es decir, $$A \times B \cong A + B \cong A \oplus B$$ donde $\oplus$ denota la biproduct de $A$$B$.

En cualquier categoría, el biproduct se define como sigue: $X$ es un biproduct de $A$ $B$ si existen mapas $$A \overset{\pi_A}{\underset{\iota_A}{\leftrightarrows}} X \overset{\pi_B}{\underset{\iota_B}{\rightleftarrows}} B$$ haciendo $(A \overset{\pi_A}{\leftarrow} X \overset{\pi_B}{\rightarrow} B)$ en un producto y $(A \overset{\iota_A}{\rightarrow} X \overset{\iota_B}{\leftarrow} B)$ en un subproducto.

Ahora, preadditive categorías tienen una estructura aditiva en su homsets. Por ejemplo, en $\mathsf{Ab}$ si $f, g : A \rightrightarrows B$ son homomorphisms entre abelian grupos $(A,+)$$(B,+)$, entonces podemos obtener otra homomorphism $f+g : A \to B$ definido por $$(f+g)(a)=f(a)+g(a)$$ A continuación, la operación binaria $+$ da $\text{Hom}_{\mathsf{Ab}}(A,B)$ un abelian la estructura del grupo. El elemento de identidad es el cero mapa de $0 : A \to B$, que es un cero de morfismos en la categoría teórica sentido.

Hay un resultado que indica que $(A \overset{\pi_A}{\underset{\iota_A}{\leftrightarrows}} X \overset{\pi_B}{\underset{\iota_B}{\rightleftarrows}} B)$ es un biproduct si y sólo si todas las siguientes son satisfechos:

• $\pi_A \circ \iota_A = \text{id}_A$ $\pi_B \circ \iota_B = \text{id}_B$
• $\pi_B \circ \iota_A = 0 : A \to B$ $\pi_A \circ \iota_B = 0 : B \to A$
• $\iota_A \circ \pi_A + \iota_B \circ \pi_B = \text{id}_X$

Esto da pistas de por qué funciona en $\mathsf{Ab}$, pero no en $\mathsf{Grp}$: $\mathsf{Grp}$ no tenemos estructura aditiva en homsets como $\mathsf{Ab}$. [Y, de hecho, el subproducto de los dos grupos en $\mathsf{Grp}$ es el producto libre; en $\mathsf{Ab}$ es la suma directa de $\equiv$ producto Cartesiano.]

Vale la pena tratar de demostrar que el resultado anterior y el trabajo a través de la prueba con una (más) ejemplo concreto.

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P. S. Gracias Alejandro Thumm por recordarme sobre preadditive categorías.

Edit: Ver los comentarios.

Answer 2

Como Thomas Andrews indica, podría ser esclarecedor considerar los productos y co-productos de la posibilidad de colecciones infinitas de Abelian grupos. Tratar de entender los dos siguientes hechos:

1) los Productos y co-productos de Abelian grupos corresponden a productos directos y directa sumas, respectivamente.

2) Para un finito colecciones de Abelian grupos, el producto directo y la suma directa de pasar a ser canónicamente isomorfo.

Answer 3

Tener un poco más de la exposición y la experiencia ahora, pensé que tal vez debería añadir esta reflexión como una respuesta para el bien de la persona que utiliza esta cuestión en el futuro.

Aunque puede ser un poco heterodoxo, me parece el hecho de que finito y productos finitos de co-productos corresponden en $\text{Ab}$ más obvio de una vez en las obras, por el hecho de que los productos y co-productos en $R\text{-mod}$, la categoría de $R$ módulos, que corresponden. Una vez que uno ha hecho esto, se puede utilizar el hecho de que las categorías $\text{Ab}$ $\mathbb{Z}\text{-mod}$ son de la misma a la conclusión de que finito y productos finitos de co-productos en $\text{Ab}$ corresponden.