Varios Topos de la teoría de preguntas

Question

Hey. Tengo un par de off the wall preguntas acerca de topos de la teoría y la geometría algebraica.

1. Hacer el siguiente par de oraciones de sentido?

Cada esquema X es sujetado por su Hom functor Hom(-,X) por el yoneda lema, pero desde esquemas localmente afín variedades, en realidad, es sólo lo suficiente para mirar el caso donde "-" es un esquema afín. Así se podría definir esquemas como particular functors de CommRing^op Conjuntos. En esta configuración de esquemas de pensamiento de como gavillas en la "gran zariski sitio".

Si que no tiene sentido mi siguiente pregunta, probablemente no.

2 La categoría de poleas en la gran zariski formularios del sitio un topos T, la categoría de sistemas de una subcategoría. Es conveniente a la razón sobre los toposes en su propia "lógica interna". Ha habido mucho pensamiento sobre la lógica interna de la T, o a la lógica de la T requieren demasiado álgebra conmutativa sentirse como en la lógica? A lo largo de estas líneas, han habido intentos de escribir una primaria lista de axiomas que captura la esencia de este topos? Estoy pensando en cómo Anders Kock tiene muy buenas maneras de pensar de la geometría diferencial con su SDG.

3 ¿Qué es acerca de la categoría de anillos conmutativos que hace posible poner una buena estructura del sitio, pero no de otros algebraicas categorías? El encolado de los anillos juntos conducen a enormes avances en la geometría algebraica. ¿Qué acerca de encolado grupos? Hay un buen Grothendieck topología que se pueden poner en los Grupos^op, y entonces usted puede comenzar el estudio de las poleas en este sitio? Si no, ¿por qué - ¿y los anillos que los hace tan especiales?

4 ¿por Qué la gente trabaja con la categoría de esquemas en lugar de los topos de poleas en CommRing^op - toposes tiene todo bonito categórica de la propiedad que usted podría pedir.

Acerca de mí: soy un 1er año de estudiante de posgrado que se está tomando un primer curso de los esquemas, y sólo tengo un montón de ideas locas que flotan alrededor. No me siento a gusto participar en este tipo de especulación salvaje con mis profesores. Podría ofrecer información sobre estas ideas?

Answer 1

Alrededor De La 1: ¡Sí!

Sobre 2: (lógica Interna de Zariski topos) no creo que se ha hecho de forma sistemática. Un atisbo de ella es en Anders Kock, Universal geometría proyectiva a través de topos teoría, si recuerdo bien, y ciertamente en algunos otros lugares. Pero hay un punto que no es fácil de encontrar fórmulas en el lenguaje interno que expresar lo que tienes en mente. Véase mi respuesta a "sintético" razonamiento se aplica a la geometría algebraica

Alrededor de las 3:Usted puede, de hecho, pegamento y todo tipo de cosas:

• Cosas de adaptación en el marco axiomático de "geométrica contextos": Mira el "curso de máster en Algebraicas pilas" aquí: http://www.math.univ-montp2.fr/~toen/m2.html Esta es una gran lectura para entender el functorial punto de vista sobre los esquemas y los colectores!

• Conmutativa Monoid objetos en buen monoidal (modelo) categorías: http://arxiv.org/abs/math/0509684

• Conmutativa mónadas (aquí se puede pegar monoids, semirings y otras estructuras algebraicas mezcla de todos ellos): http://arxiv.org/abs/0704.2030

• En Shai Harán "No Aditivos de la Geometría" incluso puede pegar el monoids y semirings etc. con las relaciones (aunque yo no sé por qué)

• También puede pegamento cosas "hasta homotopy lugar" de un estricto - esto es aproximadamente lo que Lurie infinito topoi se acerca, y también el modelo de la categoría parte de la 2 ° punto, o cualquier oter enfoques derivados de la geometría algebraica

Uno de los varios buenos puntos de vista sobre lo que Grothendieck topología, es decir, que se determina que colimits existentes en su sitio web debe ser conservado bajo el Yoneda incrustación, es decir, lo que peguen lleva ya un lugar entre los afín a objetos. Por lo tanto, si usted insiste en pegado de los grupos podría ser una buena idea mirar por ejemplo, para una topología que lleva amalgamado productos (para mí esto significa pegado grupos, puede que desee que sólo se selecciona este tipo de productos, por ejemplo, a lo largo inyectiva mapas) para pushouts de poleas... A continuación, siéntase libre para desarrollar una teoría sobre esto y me envíe una copia!

Cerca de las 4: (¿por Qué la gente no trabajo con poleas en lugar de esquemas) Que hacen. Una situación en la que hacer es cuando se toma el cociente de un esquema por un grupo de acción. El coequalizer en la categoría de esquemas es a menudo demasiado degenerados. Una respuesta es la de tomar el coequalizer en la categoría de poleas, la "gavilla " cociente" (pero a veces la mejor de las respuestas son GIT cocientes y la pila de cocientes).

Answer 2

Para ser claros: la categoría de poleas en la gran Zarsiki sitio es un topos sólo si "big Zariski sitio" se refiere a la categoría de finitely presenta anillos conmutativos, o bien algunos otros pequeños subcategoría de CommRing^op. O otra cosa que permitir que vuestras gavillas para tomar los valores en grande los conjuntos. La categoría de pequeño conjunto de valores de las poleas en un sitio grande no es en general, un topos.

Con respecto a la lógica interna de la Zariski topos, puede ser interesado en la VIII.6 de "Poleas en la geometría y la lógica", la cual muestra que es la clasificación de los topos para local de los anillos. Y con respecto a la generalización a otros contextos algebraicos, usted puede estar interesado en este papel.

Answer 3

Una respuesta corta a #4: Si usted está tratando de hacer geometría con poleas en una categoría de afín a objetos, que desea trabajar con poleas que son "geométrica", en el sentido de que no pueden ser cubiertos por los afín a objetos.

Answer 4

(1) Sí, creo que es una de las maneras de definir esquemas. Buscar representable functors y obtendrás un montón de literatura.

Era una idea loca de unos 50 años, parte del establecimiento de hoy en día.

Yo no soy un experto, pero creo que en (3), es crucial que los anillos pueden ser localizados. Creo que hay una cierta noción de la localización en la categoría de teoría y se reduce a algo cualquier localizable, es una cosa (subthing) de poleas en un sitio (la declaración formal es "cualquier presentable categoría puede ser obtenida como la localización de alguna categoría de gavillas de conjuntos").

Para (4) creo que la situación es bastante simple. Los esquemas son fáciles de imaginar para la mayoría de las personas, por lo que la gente trabaje en régimen de idioma, a menos que exista una necesidad más general de topoi.

Aquí también son mis preguntas anteriores:

• ¿Qué es un topos?
• Cómo pensar acerca del modelo de categorías?

Answer 5

PROBLEMA 1

la gente creo esquema como ese. Categoría de la asociativa (no necesariamente conmutativo) k-álgebra es equivalente a la categoría de afín esquemas. Hemos Yoneda la incrustación de la categoría de presheaves de conjuntos. Es bien sabido que, teniendo en cuenta presheaves de conjuntos es equivalente a considerar presheaves de alguna categoría. Entonces todo lo representable functor son afines esquemas. De hecho, no es necesario considerar la categoría de poleas, pero la categoría de presheaves. Hay una gran ventaja de considerar la categoría de presheaves lugar de la categoría de poleas porque tenemos muy buena functoriality en presheave categoría. Una vez en la necesidad de poleas, él sólo tiene que tomar sheafification functor de acuerdo a subcanonical de la topología para obtener las poleas.