Demostrar que $\int_E|f_n-f|\to0 \iff \lim\limits_{n\to\infty}\int_E|f_n|=\int_E|f|.$

Question

Estoy leyendo Análisis Real por Royden 4ta Edición.

La declaración completa del problema es:

Sea $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ una secuencia de funciones integrables en $E$ para las cuales $f_n\to f$ puntualmente casi en todas partes en $E$ y $f$ es integrable sobre $E$. Demostrar que $\int_E |f_n-f|\to0 \iff \lim\limits_{n\to\infty}\int_E|f_n|=\int_E|f|.$

Mi intento de demostración es:

$(\Longrightarrow)$ Supongamos que $\int_E|f_n-f|\to0$ y sea dado $\varepsilon>0$. Entonces existe un $N>0$ tal que si $n\geq N$ entonces $|\int_E|f_n-f||<\varepsilon.$ Consideremos $$|\int_E|f_n|-\int_E|f||=|\int_E(|f_n|-|f|)|\leq|\int_E|f_n-f||<\varepsilon.$$ Así, $\int_E|f_n|\to\int_E|f|.$

$(\Longleftarrow)$ Supongamos ahora que $\int_E|f_n|\to\int_E|f|.$ Sea $h_n=|f_n-f|$ y $g_n=|f_n|+|f|$. Entonces $h_n\to0$ puntualmente casi en todas partes en $E$ y $g_n\to2|f|$ puntualmente casi en todas partes en $E$. Además, dado que cada $f_n$ y $f$ son integrables $\int_E g_n=\int_E|f_n|+|f|\to2\int_E|f|.$ Así, por el Teorema General de Convergencia Dominada de Lebesgue, $\int_E|f_n-f|\to\int_E0=0.

Estoy bastante seguro de que entendí esto correctamente, pero me preguntaba si está bien que $g_n$ dependa de $f$ o $f_n$ o si necesita ser independiente de ellos.

¡Gracias por cualquier ayuda o retroalimentación!

Answer 1

El Lema de Fatou es tu amigo. Por Fatou,

$$\begin{align*} \int_{E} 2|f| &= \int_{E} \liminf_{n\to\infty} (|f| + |f_n| - |f-f_n|) \\ &\leq \liminf_{n\to\infty} \int_{E} (|f| + |f_n| - |f-f_n|) \\ &= 2\int_{E} |f| - \limsup_{n\to\infty} \int_{E} |f-f_n|. \end{align*}$$

Por lo tanto, se sigue que $\limsup_{n\to\infty} \int_{E} |f-f_n| = 0$ y se obtiene la conclusión deseada. También puedes echarle un vistazo al lema de Scheffé.

Answer 2

Como dijo Prahlad Vaidyanathan, la demostración es correcta. Probablemente no usaría $\varepsilon$ en la primera parte, en lugar de eso escribiría

$$\left|\int_E|f_n| - \int_E|f| \right| = \int_E \big||f_n|-|f|\big|\le \int_E |f_n-f|\to 0$$ y utilizando el lema del apretón.

Answer 3

Creo que el siguiente teorema debería ayudarte a entender esta relación de equivalencia.

Teorema: (Teorema de Scheffe). Sea $\left\{f_{n}\right\}_{n \geq 1}, f$ una colección de funciones medibles no negativas en un espacio de medida $(\Omega, \mathcal{F}, \mu) .$ Sea $f_{n} \rightarrow f$ c.s. $(\mu), \int f_{n} d \mu \rightarrow \int f d \mu$ y $\int f d \mu<\infty$. Entonces $$\lim _{n \rightarrow \infty} \int\left|f_{n}-f\right| d \mu=0$$ Prueba: Sea $g_{n}=f-f_{n}, n \geq 1$. Como $f_{n} \rightarrow f$ c.s. $(\mu)$, tanto $g_{n}^{+}$ como $g_{n}^{-}$ van a cero c.s. $(\mu)$. Además, $0 \leq g_{n}^{+} \leq f$ y por hipótesis $\int f d \mu<\infty$. Por lo tanto, por el teorema de convergencia dominada (DCT), se sigue que $$\int g_{n}^{+} d \mu \rightarrow 0$$ Luego, observa que por hipótesis, $\int g_{n} d \mu \rightarrow 0$. Así, $\int g_{n}^{-} d \mu=\int g_{n}^{+} d \mu-$ $\int g_{n} d \mu \rightarrow 0$ y por lo tanto, $\int\left|g_{n}\right| d \mu=\int g_{n}^{+} d \mu+\int g_{n}^{-} d \mu \rightarrow 0$.

Este teorema está citado de Teoría de la medida y Teoría de la probabilidad. Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri.