Función característica de la distribución gamma

Question

Necesito demostrar que la función característica de la distribución gamma con parámetros $(r,\lambda)$ es $$ \phi(t)=(\lambda/(\lambda-it))^r$$

Me dijeron que probara, usando integración compleja, que $$\int_0^{\infty} \alpha^rx^{r-1}e^{-\alpha x} dx= \Gamma(r)$$ si $Re(\alpha) >0$.

Intenté reescribir la integral, considerándola como una integral en la variable compleja $z=\alpha x$ pero no logré terminar la demostración.

En particular, intenté considerar la integral compleja en la trayectoria que es el ángulo entre la línea real y la línea $\alpha$ pero no fui capaz de demostrar que la integral en el arco que los conecta es $0$.

Answer 1

Sea $\xi$ - una variable aleatoria con distribución gamma. Entonces puedes usar la siguiente transformación: $$\phi (t) = M e^{it\xi} = \int\limits_{0}^{\infty} e^{itx} \frac{\lambda^{r} x^{r -1} e^{-\lambda x}}{Г(r)} dx = \frac{\lambda^{r}}{Г(r)(\lambda-it)^{r}}\int\limits_{0}^{\infty}(x(\lambda - it))^{r -1} e^{-x(\lambda - it)} d(x(\lambda - it)) = \frac{\lambda^{r}}{(\lambda-it)^{r}} $$