¿Cómo calculo el grupo de unidades de un anillo cociente $\mathbb{R}[x]/(f(x)\mathbb{R}[x])$, por ejemplo $f(x)=x^2+2x+1$?
Respuesta
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Los elementos de $R=\mathbb{R}[X]/((X+1)^2)$ son de la forma $a+bx$, es decir, las clases de residuos módulo el ideal $((X+1)^2)$. Ahora hay que tener en cuenta que $R$ tiene solo un ideal maximal: el ideal generado por $x+1$. Esto significa que $R$ es local, y entonces su grupo de unidades es $R\setminus (x+1)$, es decir, los elementos de la forma $a+bx$ con $a\neq b$.
Otro enfoque: una clase de residuos $a+bx$ es invertible si y solo si hay otra clase de residuos $c+dx$ tal que $(a+bx)(c+dx)=1$, es decir, $(a+bX)(c+dX)-1\in ((X+1)^2)$. Esto se puede reformular como $\gcd(a+bX,X+1)=1$ o $X+1\nmid a+bX$ lo cual es equivalente a $a\neq b$.
