¿Cómo expresar expresiones complejas en coordenadas cartesianas y polares?

Question

¿Alguien puede mostrarme cómo expresar estas dos cantidades en forma polar y cartesiana?

$$ \lvert z_1z_2\rvert$$ y $$ arg(z_1z_2)$$

Entiendo la forma cartesiana de la primera, solo obtengo $$(x^2+y^2)^{1/2} + (x^2+y^2)^{1/2}$$ Pero ¿cómo puedo hacer lo mismo para la forma polar?

Muchas gracias

Answer 1

Es fácil recordar cuál es la forma polar de un número complejo. Para ello, solo tienes que saber que

$$z = x+iy$$

$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

$$\theta = \text{arg}(z) = \arctan\frac{y}{x}$$

Si tienes dos números complejos, entonces...

Answer 2

Sea $z_1=r_1e^{i\theta_1}$ y de manera similar para $z_2$. Luego sabemos que

$$|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|=r_1r_2$$

$$\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)=\theta_1+\theta_2$$

Answer 3

Para $z_1=x_1+iy_1=r_1e^{i\theta}$ y $z_2=x_2+iy_2=r_2e^{i\phi}$ entonces $$|z_1z_2|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}=r_1r_2$$ y $$\arg(z_1z_2)=\arctan\frac{x_1y_2+x_2y_1}{x_1x_2-y_1y_2}=\theta+\phi$$