Cómo integrar $\int\frac{\sin(x)+\sin(2x)}{\sin(3x)+\sin(4x)}dx$

Question

Cómo integrar $$\int\frac{\sin(x)+\sin(2x)}{\sin(3x)+\sin(4x)}dx$$

Sabemos que

$$\sin(A)+\sin(B)=2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Aplicando la fórmula anterior, obtenemos la integral:

$$\int\frac{2\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{7x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}dx$$

$$=\int\frac{\sin\left(\frac{3x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{7x}{2}\right)}dx$$

Ahora escribimos $\frac{3x}{2}=\frac{7x}{2}-\frac{4x}{2}$

Por lo tanto, finalmente la integral será:

$$\int\cos(2x)dx-\int\cot\left(\frac{7x}{2}\right)\sin(2x)dx$$

Pero no entiendo cómo integrar esto.

Por favor, ayúdame con esta integral.

Answer 1

Me pregunto si no sería más simple usar directamente la sustitución de la mitad del ángulo tangente desde el principio $$\int\frac{\sin(x)+\sin(2x)}{\sin(3x)+\sin(4x)}\,dx=\int\frac{2 \left(t^2-3\right) \left(t^2+1\right)}{t^6-21 t^4+35 t^2-7} \,dt$$ y reescribir el integrando como $$\frac{2 \left(t^2-3\right) \left(t^2+1\right)}{(t^2-r_0)(t^2-r_1)(t^2-r_2)}$$ donde $(r_0,r_1,r_2)$ son las raíces reales del cúbico $$y^3-21y^2+35y-7=0$$ es decir $$r_k=7+8 \sqrt{\frac{7}{3}} \cos \left(k\frac{2 \pi }{3}-\frac{1}{3} \cos^{-1}\left(\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{7}}\right)\right)$$

Usando la descomposición en fracciones parciales, el integrando es $$\frac {a_0}{t^2-r_0}+\frac {a_1}{t^2-r_1}+\frac {a_2}{t^2-r_2}$$ lo cual no hace que el problema sea muy complicado (tres arcotangentes hiperbólicas).

$$a_0=\frac{3 (r_0-3) (r_0+1)}{(r_0-r_1) (r_0-r_2)}\quad a_1=\frac{3 (r_1-3) (r_1+1)}{(r_0-r_1) (r_2-r_1)}\quad a_2=\frac{3 (r_2-3) (r_2+1)}{(r_0-r_2) (r_1-r_2)}$$

Answer 2

Se puede verificar que se cumple la siguiente descomposición \begin{align} \frac{\sin \frac{3x}2}{\sin \frac{7x}2} =&\ \frac17\sin4a\bigg[\cot(a+\frac x2)+\cot(a-\frac x2) \bigg] \\ & -\frac17\sin6a\bigg[\cot(2a+ \frac x2)+\cot(2a-\frac x2) \bigg] \\ & +\frac17\sin2a\bigg[\cot(4a+ \frac x2)+\cot(4a-\frac x2) \bigg] \end{align} donde $a=\frac\pi7$. Luego, utiliza $ \int \cot t\ dt =\ln \sin t $ para integrar por partes los términos descompuestos \begin{align} &\int\frac{\sin x+\sin2x}{\sin3x+\sin4x}dx = \int \frac{\sin \frac{3x}2}{\sin \frac{7x}2} dx\\ &\ = \frac27\sin4a\>\ln \frac{\sin(a+ \frac x2) }{\sin(a-\frac x2) } -\frac27\sin6a\>\ln \frac{\sin(2a+ \frac x2) }{\sin(2a-\frac x2) }\\ &\hspace{10mm}+\frac27\sin2a\>\ln \frac{\sin(4a+ \frac x2) }{\sin(4a-\frac x2) } + C \end{align}

Answer 3

Demasiado complejo y proporcionado por un CAS. $$I=\int \frac {\sin(ax)}{\sin(bx)}\,dx=\frac 1b \int \frac {\sin(ct)}{\sin(t)}\,dt \quad \quad \text{con} \quad c=\frac a b$$

Usando la función hipergeométrica gaussiana $$\color{blue}{i b\left(1-c^2\right) e^{-i t}\,I=}$$ $$\color{blue}{(1+c)\, e^{-i c t} \, _2F_1\left(1,\frac{1-c}{2};\frac{3-c}{2};e^{2 i t}\right)-(1-c)\, e^{i c t} \, _2F_1\left(1,\frac{1+c}{2};\frac{3+c}{2};e^{2 i t}\right)}$$

Expandido para los valores específicos de $a$ y $b$, aparecen los $7$'s y múltiplos de $\frac \pi 7$ como aparecen en la magnífica respuesta de @Quanto.

Esto también se podría escribir en términos de la función trascendental de Hurwit-Lerch.