Evaluando el límite de $\frac{x}{\lfloor x\rfloor}$

Question

¿Cómo evaluar $\lim \limits_{x \to \infty}$$\frac{x}{\lfloor x\rfloor}$ ?

¿Existe el límite?

Sé que para valores enteros, el límite se evalúa como 1

¿Qué pasa con los valores no enteros?

Answer 1

$x-1\leq \lfloor x\rfloor \leq x$, por lo que $1\leq\dfrac{x}{\lfloor x\rfloor}\leq\dfrac{x}{x-1}$ para grandes $x>0$, ahora tomamos el límite y usamos el Teorema del Sándwich.