Encuentra $\operatorname {Var}$ del número de vértices aislados

Question

Del grafo completo con $n$ vértices elige el subgrafo $G = G (n, p)$ de tal manera que cada borde es seleccionado de forma independiente con una probabilidad de $p$ o no seleccionado con una probabilidad de $1 - p$. Para el grafo resultante G encontrar $\operatorname{Var}$ del número de vértices aislados.

Mi intento:

Sea $X_j$ una variable aleatoria para la cual si $X_j = 1$ entonces $ v_j $ está aislado. De lo contrario $X_j=0$
$$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{Var}(\sum_{v}X_v) = E\left(\left(\sum_vX_v\right)^2\right) - E^2 (\sum_v X_v)$$
Ok, entonces si se trata de $$E^2 (\sum_v X_v)) = n^2 \cdot E^2(X_1) = n^2(1-p)^{2n-2}$$ Ahora $E\left(\left(\sum_vX_v\right)^2\right)$: $$ E\left(\left(\sum_vX_v\right)^2\right) = \left(E(X_1+ \cdots +X_n)^2\right) = E\sum_{u,v}X_uX_v = \\ \underbrace{E\sum_{u \neq v}X_uX_v}_{(*)} + \underbrace{E\sum_{u = v}X_uX_v}_{(**)}$$ y ahora por interpretación combinatoria $(*)$ es $n(n-1)(1-p)^{2n-3}$. Si se trata de $(**)$ hay $n EX_1^2 = \color{red}{n(1-p)^{2n-2}}$

Así que reuniendo todo: $$-n^2 (1-p)^{2 n-2}+(n-1) n (1-p)^{2 n-3}+n (1-p)^{\color{red}{2n-2}} $$ pero la respuesta correcta es $$-n^2 (1-p)^{2 n-2}+(n-1) n (1-p)^{2 n-3}+n (1-p)^{\color{red}{n-1}} $$ ¿Dónde fallé?

Answer 1

Obtuviste $E\left(X_1\right)=(1-p)^{n-1}$ correctamente la primera vez que lo necesitaste, y luego lo elevaste al cuadrado correctamente para obtener $(1-p)^{2n-2}$; pero la segunda vez que lo necesitas, dado que $E\left(X_1^2\right)=E\left(X_1\right)$, no debería ser elevado al cuadrado, y aún escribiste $(1-p)^{2n-2}$, pero en realidad debería ser simplemente $(1-p)^{n-1}$.