¿Es la categoría derivada de haces coherentes cerrada por idempotentes?

Question

Estoy preguntándome si la categoría derivada acotada $D^b Coh(X)$ es completa idempotente, es decir, si todo morfismo idempotente se descompone. Esto es cierto para $Perf(X)$ ya que los complejos perfectos son los objetos compactos en la categoría de haces cuasi-coherentes y la compacidad se conserva al tomar retractos.

Por ejemplo, si X es suave, entonces $D^bCoh$ y $Perf$ coinciden y por lo tanto $D^b Coh$ también está cerrado respecto a idempotentes.

Pregunta: ¿Hay alguna condición general en un esquema X que implique que $D^b Coh$ también esté cerrado respecto a idempotentes?

Answer 1

Creo que es cierto si $X$ es Noetheriano.

Por Prop. 36.11.2 del Proyecto Stacks, el funtor natural $$D^b\left(\text{Coh}(\mathcal{O}_X)\right)\to D^b_{\text{Coh}}(\mathcal{O}_X)$$ es entonces una equivalencia, y $D^b_{\text{Coh}}(\mathcal{O}_X)$ es cerrado por idempotentes, ya que la categoría $\text{Coh}(\mathcal{O}_X)$ de haces coherentes es abeliana y por lo tanto cerrada por idempotentes.