¿Por qué se define la Integral de Lebesgue a través de integrales de funciones simples?

Question

Estoy leyendo el capítulo de Teoría de la Medida e Integración de Terrance Tao's Análisis-2. En el capítulo de Integración de Lebesgue (11), inicialmente se introduce la integral para funciones con valores positivos y luego se generaliza a funciones con valores negativos al definir primero una manera de dividir el valor negativo y positivo de la función.

Lo que no entiendo es, ¿por qué no podemos integrar directamente funciones que toman cualquier valor en la Integración de Lebesgue? ¿Podría alguien darme una intuición sobre por qué hacemos esto?

Entiendo cosas como definir la función de medida, por qué necesitamos conjuntos medibles, funciones medibles, etc. Pero en este punto estoy confundido como nunca.

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Answer 1

De alguna manera esto es porque la adición de infinito más e infinito menos no está definida.

La medida de Lebesgue asigna valores no negativos y posiblemente infinitos a conjuntos, y la adición de tales valores está bien definida (y por lo tanto también lo es la aditividad de la medida de Lebesgue). La integración de funciones no negativas de manera similar está bien definida, porque también es una adición de valores no negativos y posiblemente infinitos (que son el producto del valor de la función por la medida de Lebesgue de un conjunto); por ejemplo, para una función simple no negativa \begin{equation*} f = \sum^n_{i=1}a_i 1_{A_i}, \end{equation*} donde los $a_i$ son números no negativos y los $A_i$ son conjuntos medibles disjuntos, la integral \begin{equation*} \int f(x)dx = \sum^n_{i=1}a_i\lambda(A_i) \end{equation*} (donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue) está bien definida, y esto se generaliza a funciones medibles arbitrarias no negativas a través de argumentos de convergencia. Esta definición, sin embargo, no se generaliza directamente a funciones medibles con valores reales, porque requeriría una definición de infinito más e infinito menos, que generalmente se deja sin definir; por ejemplo, la función que es menos uno hasta cero y más uno por encima de cero, es decir, \begin{equation*} f = -1_{(-\infty,0]}+1_{(0,\infty)} \end{equation*} no tiene una integral de Lebesgue bien definida porque $-\infty + \infty$ no está definido.