Aquí hay una forma de obtener las fórmulas de variación de parámetros. En primer lugar, algo de motivación mezclado con un poco de jerga:
Pensamos en $a_{2}(x)y''(x)+a_{1}(x)y'(x)+a_{0}(x)y(x)$ como el resultado de aplicar a $y(x)$ una operación $D=a_{2}(x)\frac{d^2}{dx^2 }+a_{1}(x)\frac{d}{dx}+a_{0}(x) Id$. Esta es una operación lineal (también conocida como operador diferencial lineal), lo que significa que $D(c_1y_1(x)+c_2y_2(x))=c_1 D(y_1(x))+c_2 D((y_2(x))$. Nuestra ecuación es entonces $D (y(x))=f(x).
La linealidad asegura que si $y_a(x)$ e $y_b(x)$ resuelven $Dy_a=f_a$ y $Dy_b=f_b$ entonces $y_a+y_b$ resuelve $Dy=f_a+f_b$. Entonces, si podemos descomponer nuestro término inhomogéneo $f(x)$ como una suma $f=f_a+f_b$ y resolver las dos "piezas" $Dy=f_a$ y $Dy=f_b$, estaríamos listos - solo sumamos las dos soluciones y obtenemos una solución para $f$.
La idea clave ahora (esto se conoce como método de la función de Green, o tal vez a veces el principio de Duhamel) es pensar en $f$ como una "suma" de una cantidad continua de funciones delta $f(x)=\int f(t)\delta(x-t) dt. Así que queremos resolver $Dy(x)= \delta(x-t)$ para cada $t$ (estas soluciones son las funciones de Green para nuestra ecuación), obtener soluciones $y_t(x)=y(t,x)$, y luego escribir nuestra solución a $Dy=f$ como la "suma" sobre t $y(x)=\int f(t) y_t (x) dt = \int f(t) y (t , x) dt.
Continuando de esta manera (sin prestar mucha atención a los detalles técnicos o introduciendo la teoría de distribuciones necesaria para proporcionar tales detalles y hacer lo anterior riguroso), ahora tenemos la tarea de encontrar $y_t(x)$ es decir, resolver $Dy_t(x)=\delta(x-t) La solución es, por supuesto, no única, pero es única solo hasta agregar $y_h$ - una solución arbitraria de la ecuación homogénea $Dy=0. Note que de hecho para $x>t$ y para $x
Ahora, cualquier $y_h$ es una combinación de soluciones homogéneas fijas $y_1$ y $y_2, es decir, $y_h(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x). Entonces nuestra función de Green $y_t=0$ para $xt. ¿Qué deberían ser $c_1, c_2? Queremos que $Dy_t(x)= a_{2}(x)y_t''(x)+a_{1}(x)y_t'(x)+a_{0}(x)y_t(x)= \delta(x-t). Así que $y_t$ debe ser continua, para que $y_t'$ tenga solo una discontinuidad de paso en $x=t, y $y_t''$ solo un delta (y no $\delta'(x-t) Continuidad impone $c_1y_1(t)+c_2y_2(t)=0. También queremos tener un salto delta unitario y no más grande o más pequeño. El tamaño del salto está controlado por $a_2 \frac{d^2}{dx^2}$ en $x=t$ y también lo es $a_2(t)[ c_1y'_1(t)+c_2y'_2(t)]. Igualar a 1 impone $ c_1y'_1(t)+c_2y'_2(t)=\frac{1}{a_2(t).
Para resumir:
La función de Green en $t$ es [$0$ para $xt]
con $c_1(t), c_2(t)$ sujetos a
$c_1(t)y_1(t)+c_2(t)y_2(t)=0
$ c_1y'_1(t)+c_2y'_2(t)=\frac{1}{a_2(t)
Comparar con la variación de parámetros: $c_1=\frac{u_1'}{f}, c_2=\frac{u_2'}{f}
Y la solución a $Dy=f$ es
$y(x)=\int f(t) y_t (x) dt = \int f(t) y (t , x) dt
Al completar, obtenemos
$y(x)=\int_{x>t} f(t) (c_1(t)y_1(x))+c_2(t)y_2(x)) dt=[\int_{-\infty}^{x} f(t)c_1(t)) dt] y_1(x)+[\int_{-\infty}^{x} f(t)c_2(t))dt] y_2(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).
Entonces recuperamos $y$ como una combinación de $y_1$ y $y_2$ con coeficientes de función, y sabemos exactamente qué relaciones deben satisfacer las derivadas de estos coeficientes (deben combinarse para dar las funciones de Green veces $f(x$). Escribiendo estas relaciones obtenemos las mismas fórmulas que para las fórmulas de variación de parámetros, que luego podemos justificar independientemente de manera ad hoc.
Por supuesto, esto se generaliza de manera sencilla a ecuaciones lineales de orden superior - los $c_i$ tendrán más restricciones lineales de 'igualación de derivadas' que satisfacer para dar una función de Green, y el resto es lo mismo.
