Ejemplo de filtración en teoría de la probabilidad

Question

Estoy estudiando Martingalas y antes de ellas, filtraciones. Dado un espacio de probabilidad $(\Omega, F, P)$ defino un filtro $(F_n)$ como una secuencia creciente de $\sigma$-álgebras de $F$, tal que $F_t \subset F$ y $t_1 \leq t_2 \Longrightarrow F_{t_1} \subset F_{t_2}$. Aquí viene mi pregunta: ¿Cómo pueden ser los $F_t$ $\sigma$-álgebras y subconjuntos de $F$ sin ser exactamente iguales a $F$? Supongo que los $F_t$ siendo $\sigma$-álgebras significa que son $\sigma$-álgebras con respecto al espacio de medida $(\Omega, F)$. ¿Alguien puede explicar por qué no necesariamente son iguales a $F$ y dar un ejemplo donde esto sea claramente falso?

Answer 1

Otro ejemplo simple. La filtración natural cuando modelamos el lanzamiento de un dado dos veces seguidas. Así es como funciona. Que $X_1$ sea el resultado del primer lanzamiento. Por lo tanto, los valores de $X_1$ están en el conjunto $\{1,2,3,4,5,6\}$. Que $X_2$ sea el resultado del segundo lanzamiento.

Como espacio muestral, podemos tomar $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\} \times \{1,2,3,4,5,6\}$, el conjunto de todos los pares ordenados elegidos del conjunto $\{1,2,3,4,5,6\}$. Si $\omega \in \Omega$, entonces $\omega$ es un par ordenado, digamos $\omega = (\omega_1,\omega_2)$. Dejemos que las dos variables aleatorias sean $X_1(\omega) = \omega_1$ y $X_2(\omega) = \omega_2$. Un "evento" es un subconjunto de $\Omega.

[Nota: un verdadero probabilista piensa que el primer párrafo es natural, y que el segundo párrafo es muy artificial.]

Los "tiempos" relevantes son: tiempo $0$, antes de que se realice cualquier lanzamiento, tiempo $1$ después del primer lanzamiento pero antes del segundo lanzamiento, y tiempo $2$, después del segundo lanzamiento. Para cada tiempo $t$, la sigma-álgebra $\mathcal F_t$ es "la información conocida en el tiempo $t$". Tenemos $\mathcal F_0 \subset \mathcal F_1 \subset \mathcal F_2$, con inclusión estricta en todos los casos.

Ahora veamos qué son.

$$ \mathcal F_0 = \{\varnothing, \Omega\} $$ ya que en el tiempo $0$ no tenemos información sobre cuál punto de la muestra es el verdadero estado de los hechos. Solo hay dos eventos tales que sabemos si ocurren: el evento $\Omega$ definitivamente ocurre, y $\varnothing$ definitivamente no ocurre. Para cualquier otro evento, no sabemos si ocurre o no. $$ \mathcal F_1 $$ consta de $2^6$ eventos: todos los conjuntos de la forma $A \times \{1,2,3,4,5,6\}$, donde $A \subseteq \{1,2,3,4,5,6\}$. Esto se debe a que, en el tiempo $1$, sabemos cuál fue el resultado $X_1$, es decir, conocemos la primera coordenada de $\omega$, pero no conocemos la segunda coordenada de $\omega$. Los eventos en $\mathcal F_1$ son eventos que no contienen información sobre el segundo lanzamiento $X_2$. Dado un evento $U$ en $\mathcal F_1$, en el tiempo $1$ definitivamente sabemos si $U$ ocurre o no. Pero dado un evento $V$ que no está en $\mathcal F_1$, es posible que en el tiempo $1 no sepamos si $V$ ocurre. $$ \mathcal F_2 $$ consta de $2^{36}$ eventos: todos los subconjuntos de $\Omega$. Esto se debe a que, en el tiempo $2$, sabemos exactamente cuál es $\omega$, así que, para cualquiera de los $2^{36}$ eventos $U$, sabemos si ha ocurrido o no.

[Lenguaje de probabilidad $$ \text{el evento $U$ ocurre} $$ se traduce al lenguaje de teoría de conjuntos $$ \omega \in U. $$ A medida que trabajes con esto, adquirirás más experiencia traduciendo de un lado a otro.]

Answer 2

Permítanme primero establecer una interpretación para el significado de una filtración: Una filtración $\mathcal F_t$ contiene cualquier información que podría ser potencialmente preguntada y respondida para el proceso aleatorio considerado en el tiempo $t$.

Lanzamiento de un solo dado:

Empecemos primero considerando el simple ejemplo de un lanzamiento de dado:

• Antes del lanzamiento, todo lo que sabes es que el resultado será "1 o 2 o ... o 6". En notación de conjuntos, esto corresponde a $\Omega_1=\{1,2,\ldots,6\}$, es decir, al conjunto completo de resultados. Además, puedes preguntar y responder la pregunta tonta "¿no pasa nada?", lo que corresponde al conjunto vacío. Entonces, la filtración es $\mathcal F_0=\{\Omega_1,\emptyset\}$.

• Después del lanzamiento, obtienes un solo resultado $\omega_1 \in \Omega$. Ahora puedes responder todo tipo de preguntas, por ejemplo: "¿es el resultado un 4" que corresponde a $\{4\}$, "¿es el resultado un número impar" correspondiendo a $\{1,3,5\}$, "¿es el resultado mayor a 4" correspondiendo a $\{5,6\}$, y así sucesivamente.

Ves que toda la información posible después de un lanzamiento -- todo lo que se puede preguntar y responder -- está contenida en el conjunto potencia $\mathcal P(\Omega_1)$ de $\Omega_1$.

Además, en un espacio de probabilidad, no solo puedes preguntar si una configuración puede ocurrir o no -- también puedes considerar la probabilidad para una configuración dada, por ejemplo $P(\{5,6\}) = 1/3$.

Lanzamiento de dos dados (ordenados, es decir, lanzados secuencialmente):

Este es el ejemplo discutido en la respuesta de @GEdgar.

• Antes de cualquier lanzamiento, todo lo que puedes preguntar y responder es que el resultado estará en $\Omega_2 = \Omega_1 \times \Omega_1$, entonces $ \mathcal F_0 = \{\emptyset,\Omega_2\} $.

• Después del primer lanzamiento, solo puedes responder alguna de las preguntas relacionadas con el primer lanzamiento que recogimos en el ejemplo del dado de uno, y nada relacionado con el segundo. Entonces, la filtración es $\mathcal F_1=\{ A \times \Omega_1 \mid A \in \mathcal P(\Omega_1) \} $.

• Después de dos lanzamientos, tienes la información completa, es decir $\mathcal P (\Omega_2)$.

Algunas configuraciones de ejemplo más la pregunta correspondiente:

$\quad \quad \Big\{(1,5)\Big\} \in \mathcal F_2$ $\quad \longrightarrow$ el primer lanzamiento es un uno, el segundo un cinco

$\quad \quad \Big\{(1,5),(5,1)\Big\} \in \mathcal F_2$ $\quad \longrightarrow$ uno de los dos lanzamientos es un uno, el otro un cinco

$\quad \quad \Big\{\{1,3,5\}\times\{2,4,6\}\Big\} = \Big\{(1,2),(1,4),\ldots,(3,6),(5,6)\Big\} \in \mathcal F_2$ $\longrightarrow$ primer lanzamiento impar, segundo par

Lanzamiento de dos dados (desordenado, es decir, lanzados a la vez):

Aquí, el conjunto de resultados es el conjunto de pares ordenados $\Omega^+=\big\{(\omega_1,\omega_2)\ |\ 1\leq\omega_1\leq\omega_2\leq6\big\}$.

Solo hay un lanzamiento, y la filtración después de este es -- así como en el ejemplo del lanzamiento de un solo dado arriba -- dado por $\mathcal P(\Omega^+)$. No entraré en detalle en esto. Lo único que quiero enfatizar es lo siguiente:

El lanzamiento de dos dados desordenado aquí se puede reproducir por el lanzamiento de dos dados ordenado, si se restringe la sigma-álgebra del ejemplo ordenado para contener todos los pares simétricos. Es decir, por ejemplo, todos los elementos de la forma $\{(1,5)\}$ como en el ejemplo anterior no están permitidos y deben ser reemplazados por $\{(1,5), (5,1)\}$. Con esto, la discriminación entre "primer" y "segundo" lanzamiento, básicamente desaparece. Como resultado, el conjunto de resultados desordenado con la filtración siendo un conjunto potencia es idéntico al conjunto de resultados ordenado con una filtración restringida a elementos simétricos.

Con este ejemplo, se puede observar que la sigma-álgebra no es algo estático. Depende del conjunto de resultados $\Omega$ y de las preguntas que se quieren hacer.

Answer 3

Tome el siguiente modelo simple: un proceso estocástico $X$ que comienza en algún valor $0$. A partir de ese valor, puede saltar en el tiempo $1$ hacia el valor $a$, o hacia el valor diferente $b$. Y en el tiempo $2$, puede saltar a $c$ o $d$ si estaba en $a$ en el momento $1$, puede saltar a $e$ o $f$ si estaba en $b$ en el momento $1$. En otras palabras, hay cuatro posibles caminos para la variable $X$: $\omega_1=0\to a\to c$, $\omega_2=0\to a\to d$, $\omega_3=0\to b\to e$ y $\omega_4=0\to b\to f$. Constituyen nuestro espacio de resultados

$$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\} \; .$$

Por lo tanto, $\Omega$ es el espacio de caminos posibles para $X$. Por otro lado, puedes definir una filtración de la siguiente manera

$$\begin{eqnarray} \mathcal{F}_t = &\{\emptyset,\Omega\} &, 0\leq t <1 ; \\ \mathcal{F}_t = &\{\emptyset,\{\omega_1,\omega_2\},\{\omega_3,\omega_4\},\Omega\} &, 1\leq t <2 ; \\ \mathcal{F}_t = & \mathcal{P}(\Omega) &, 2\leq t .\end{eqnarray}$$

con $\mathcal{P}(\Omega)$ el conjunto potencia de $\Omega$. En este sentido, la filtración es un reflejo de la información que tienes en cualquier momento. Al principio, no sabes qué camino seguirá la variable estocástica, por lo que tu filtro no contiene más que los eventos $\emptyset$ y $\Omega$, pero en el siguiente paso, puedes llegar a uno de los valores $a$ o $b$. Por lo tanto, tienes dos eventos adicionales en tu conjunto sobre los que hablar. Y finalmente, en el tiempo final, tienes acceso a todos los eventos posibles. Como puedes ver $\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2$ pero $\mathcal{F}_1 \neq \mathcal{F}_2$.

Answer 4

Esta es una variación del ejemplo de @GEdgard, que se puede aplicar a variables aleatorias de valores reales. La probabilidad no juega ningún papel. Sea $X_j$ la proyección de $\mathbb{R}^n$ sobre el $j^{th}$ componente, es decir: $ X_j(x_1,x_2,\dots,x_n) = x_j $. Sea $\mathcal{F}_j = $ sigma-álgebra generada por $X_1, \dots, X_j$. $\mathcal{F}_j $ es la sigma-álgebra de conjuntos de Borel que pueden definirse en términos de las primeras $j^{th}$ coordenadas, en el sentido de que.: $$ \mathcal{F}_j = \{A \times\mathbb{R}^{n-j} | A \text{ es un conjunto de Borel de }\mathbb{R}^{j}\} $$