Tengo una función explícita de uno a otro que es biyectiva. $$f(x) = \text{max}\lbrace |x_{i}|\rbrace_{0\leq i\leq n} \cdot \frac{x}{||x||}$$ ¿Cómo sé que esta función es continua? Veo la intuición de que las líneas de rayos son continuas, pero ¿qué tal los 'rayos adyacentes'? También sería bueno tener una demostración explícita de la continuidad.
Respuesta
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Está cerca. Debes ajustar un poco tu función, no la definiste para $0\in\mathbb{R}^n$. Sean $I=[-1,1]^n$, $B=\{v\in\mathbb{R}^n\ |\ \lVert v\rVert\leq 1\}$. Luego coloca
$$f:I\to B$$ $$f(v)=\begin{cases} 0 &\text{si }v=0 \\ \frac{\lVert v\rVert_{\infty}}{\lVert v\rVert}\cdot v &\text{en otro caso} \end{cases}$$
donde $\lVert v\rVert_\infty=\max(|v_1|,\ldots,|v_n|)$ es la norma máxima. Observa que con la norma máxima podemos reformular $I=\{v\in\mathbb{R}^n\ |\ \lVert v\rVert_\infty\leq 1\}$. Por lo tanto, un cubo no es más que un balón cerrado pero en una norma diferente.
Esta función es automáticamente continua en cualquier vector distinto de cero, ya que es una composición de las siguientes funciones continuas: la identidad $id(v)=v$, la multiplicación escalar $m(r,v)=r\cdot v$ y ambas funciones de norma (todas las normas en $\mathbb{R}^n$ son continuas con respecto a la topología euclidiana).
Por lo tanto, la única pregunta es si esta función es continua en $0$. Y esto se sigue de la observación de que cualquier par de normas en $\mathbb{R}^n$ son equivalentes. Es decir, hay constantes positivas $C_1,C_2>0$ tales que
$$C_1\leq\frac{\lVert v\rVert_\infty}{\lVert v\rVert}\leq C_2$$
para cualquier $v\in\mathbb{R}^n\backslash\{0\}$. En este caso particular, $C_1=1$ y $C_2=\sqrt{n}$ funcionarán. Por lo tanto, si $v_m\to 0$ entonces $\frac{\lVert v_m\rVert_\infty}{\lVert v_m\rVert}\cdot v_m\to 0$.
Con eso es fácil ver que $f$ tiene una inversa continua. Simplemente toma $g(0)=0$ y $g(v)=\frac{\lVert v\rVert}{\lVert v\rVert_\infty}\cdot v$.
Nota lateral: No hay nada especial sobre las normas $\lVert v\rVert$ y $\lVert v\rVert_\infty$ aquí. Esto se puede generalizar a cualquier par de normas en $\mathbb{R}^n$.
