Supongamos que tengo una matriz cuadrada de variables $(x_{ij})_{1 \le i,j \le n}$. Defino el operador $$\frac{d}{dX} = \mathrm{det}\Big(\frac{\partial}{\partial x_{ij}} \Big)_{1 \le i,j \le n}.$$
¿Cuál es $$\frac{d}{dX} \mathrm{det}(X) \; ?$$ Más generalmente, para números reales $a$, ¿cómo debería verse la regla de potencia $$\frac{d}{dX} \mathrm{det}(X)^a = ?$$?
Por ejemplo, cuando $n = 2$, obtenemos \begin{align*} &\quad \frac{d}{dX} \mathrm{det}(X)^a \\ &= \Big( \frac{\partial^2}{\partial x_{11} \partial x_{22}} - \frac{\partial^2}{\partial x_{12} \partial x_{21}} \Big) \Big[ (x_{11} x_{22} - x_{12} x_{21})^a \Big] \\ &= \frac{\partial}{\partial x_{11}} \Big[ a x_{11} (x_{11} x_{22} - x_{12} x_{21})^{a-1} \Big] + \frac{\partial}{\partial x_{12}} \Big[a x_{12} (x_{11} x_{22} - x_{12} x_{21})^{a-1} \Big] \\ &= 2a (x_{11} x_{22} - x_{12} x_{21})^{a-1} + a (a-1) (x_{11} x_{22} - x_{12} x_{21})^{a-1} \\ &= (a+1) a \mathrm{det}(X)^{a-1}.\end{align*}
Espero que la regla general sea $\frac{d}{dX} \mathrm{det}(X)^a = a(a+1)...(a+n-1) \mathrm{det}(X)^{a-1}$ pero no estoy seguro de cómo probarlo.
