Evaluar $\sqrt{x+\sqrt{{x^2}+\sqrt{{x^3}+\sqrt{{x^4}...}}}}$

Question

Recientemente me fasciné por las raíces anidadas infinitas, que llamaron mi atención por primera vez desde una pregunta en mi libro de texto sobre el valor de $\sqrt{1+\sqrt{{1}+\sqrt{{1}+\sqrt{{1}...}}}}$ que resultó ser $\phi$ cuando lo resolví, un resultado bastante hermoso.

Luego intenté encontrar una fórmula para evaluar el caso general $$\sqrt{x+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}...}}}}$$ lo cual logré; se puede evaluar como $$\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}$$

Multiplicando la raíz anidada que era igual a $\phi$ por $x$ produce la siguiente raíz anidada:

$$\sqrt{{x^2}+\sqrt{{x^4}+\sqrt{{x^8}+\sqrt{{x^{16}}...}}}}$$

entonces esto es igual a $x\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)$.

Sin embargo, he intentado y fracasado en encontrar el valor de la siguiente raíz cuadrada infinita: $$\sqrt{x+\sqrt{{x^2}+\sqrt{{x^3}+\sqrt{{x^4}...}}}}$$

Answer 1

No es una respuesta, pero algo que encuentro bastante interesante es que cuando $x = 4$, esto converge a $3$.

Para el comentario sobre mi código, es bastante simple. Aquí está:

import numpy as np

x = 2 # O lo que desees
iteraciones = 10 # O lo que desees

valor = np.sqrt(x ** iteraciones)
for i in reversed(range(1, iteraciones)):
  valor = np.sqrt(valor + x ** i)

print (valor)

Otro aspecto interesante es este:

Define una función como la expresión en el título:

$f(x) = \sqrt{x + \sqrt{x^2 + \sqrt{x^3 + \sqrt{x^4 ...}}}}$

Para cualquier x positivo, $f(f(f(f(...x)))) \approx 2.340649036282968$

Esta es la intersección entre $y=f(x)$ y $y=x$.

Editar: Solo otro dato interesante: esta función puede ser aproximada muy cercanamente por la función $f(x) = \sqrt{2x} + 0.17555$ para la mayoría de los valores relativamente pequeños ($x \in (0, 10^{10}]$)

Editar: El caso para x = 1 no es demasiado difícil.

$a = \sqrt{1 + \sqrt{1^2 + \sqrt{1^3 + \sqrt{1^4 ...}}}}$

$a = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 ...}}}}$

$a^2 - 1 = a$

$a^2 - a - 1 = 0$

Ahora tienes una ecuación cuadrática que puedes resolver fácilmente.

Todavía no estoy seguro de cómo hacer los otros casos.