Esta es una respuesta comunitaria que expande el enfoque potencial-teórico de @Vergilius. ¡Siéntete libre de mejorarlo a tu gusto!
Núcleo de Potencial. Sea $\mathfrak{a} : \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{R}$ el núcleo de potencial dado por
$$ \mathfrak{a}(x) = \frac{2}{4\pi^2} \int_{\mathbb{T}^2} \frac{1 - \cos(x\cdot k)}{2 - \cos(k_1) - \cos(k_2)} \, \mathrm{d}k, $$
donde $\mathbb{T} = \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$. Esto satisface la fórmula asintótica
$$ \mathfrak{a}(x) = g\log\|x\| + \mathcal{O}(1) $$
a medida que $\|x\| \to \infty$ con $g = \frac{2}{\pi}$ (ver [Stö49]). Además, es fácil verificar que esto resuelve la ecuación de Poisson
$$ \Delta \mathfrak{a} = 4 \delta_0, $$
donde $\Delta f(x) = \sum_{y \in \mathcal{N}(x)} (f(y) - f(x)) $ es el Laplaciano y $\mathcal{N}(x)$ es el conjunto de vecinos más cercanos de $x$ en $\mathbb{Z}^2$, y $\delta_0(x) = \mathbf{1}[x = 0]$ es el delta de Kronecker.
Probabilidades de Golpe. Sea $(S_n)$ el caminante aleatorio simple (SRW) en $\mathbb{Z}^2$. Además, sea $\mathbf{P}^x(\cdot)$ la ley de $(S_n)$ comenzando en $x$. Si
$$ \tau_W = \inf\{ n \geq 0 : S_n \in W \} $$
denota el primer tiempo de golpe del conjunto $W \subseteq \mathbb{Z}^2$, entonces la recurrencia de $(S_n)$ indica que $\tau_W < \infty$ ocurre casi seguramente con respecto a $\mathbf{P}^x$ para cualquier subconjunto no vacío $W$.
Ahora identifiquemos $\mathbb{R}^2$ con $\mathbb{C}$ por simplicidad notacional. Luego, con $W = \{1, 2\}$, estamos interesados en la función
$$ p(x) = \mathbf{P}^x( S_{\tau_W} = 1 ), $$
y en particular, en su valor $p(0)$ en el origen. Para esto, enumeramos las propiedades clave de $p$ a ser utilizadas:
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Tenemos $\Delta p = 0$ en $\mathbb{Z}^2 \setminus W$. Esto se prueba fácilmente a partir de la propiedad de Markov.
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Satisface $p(1) = 1$ y $p(2) = 0$.
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Por simetría, tenemos $p(3-x) = 1 - p(x)$.
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Usando la identidad anterior, podemos verificar fácilmente que se cumple $\Delta p(1) + \Delta p(2) = 0$.
Combinando Juntas. Sea $\phi : \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{R}$ dada por
$$ \phi(x) = p(x) - c[\mathfrak{a}(x-1) - \mathfrak{a}(x-2)], $$
donde $c = \frac{1}{4}\Delta p(1) = -\frac{1}{4}\Delta p(2)$. Entonces es claro que $\Delta \phi = 0$ de forma idéntica en $\mathbb{Z}^2$. Además, las asintóticas del núcleo de potencial garantizan que $phi$ esté acotada. Por lo tanto, mediante el teorema de Liouville, $\phi$ es constante. Usando la identidad $p(3-x) + p(x) = 1$, encontramos que esta constante es precisamente $\frac{1}{2}$. Por lo tanto,
$$ p(x) = \frac{1}{2} + c [\mathfrak{a}(x-1) - \mathfrak{a}(x-2)]. $$
El valor de la constante $c$ puede determinarse sustituyendo $x = 1$ y $x = 2$, lo que da como resultado
$$ p(x) = \frac{1}{2}\left( 1 - \frac{\mathfrak{a}(x-1) - \mathfrak{a}(x-2)}{\mathfrak{a}(1)} \right). $$
(Aquí, utilizamos la simetría $\mathfrak{a}(-x) = \mathfrak{a}(x)$ y $\mathfrak{a}(0) = 0$.) Luego, al sustituir $x = 0$ en la identidad anterior, la probabilidad deseada es
$$ p(0) = \frac{\mathfrak{a}(2)}{2\mathfrak{a}(1)}. \tag{1} $$
Por lo tanto, basta con calcular $\mathfrak{a}(1)$ y $\mathfrak{a}(2)$. La primera se resuelve fácilmente utilizando la simetría:
$$ \mathfrak{a}(1) = \frac{2}{4\pi^2} \int_{\mathbb{T}^2} \frac{1 - \cos(k_1)}{2 - \cos(k_1) - \cos(k_2)} \, \mathrm{d}k = \frac{1}{4\pi^2} \int_{\mathbb{T}^2} \mathrm{d}k = 1. $$
Además, al invocar la fórmula $\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{\mathrm{d}\theta}{a-\cos\theta} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - 1}}$, $a > 1$, obtenemos
\begin{align*} \mathfrak{a}(2) &= \frac{2}{4\pi^2} \int_{\mathbb{T}^2} \frac{1 - \cos(2k_1)}{2 - \cos(k_1) - \cos(k_2)} \, \mathrm{d}k \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{\mathbb{T}} \frac{1 - \cos(2k_1)}{\sqrt{(2 - \cos(k_1))^2 - 1}} \, \mathrm{d}k_1 \\ &= \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2(k_1)}{\sqrt{(1 - \cos(k_1))(3 - \cos(k_1))}} \, \mathrm{d}k_1 \\ &= \frac{4}{\pi} \int_{-1}^{1} \frac{\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{(1 - t)(3 - t)}} \, \mathrm{d}t \tag{$t=\cos k_1$} \\ &= \frac{4}{\pi} \int_{-1}^{1} \sqrt{\frac{1+t}{3-t}} \, \mathrm{d}t \\ &= \frac{4}{\pi} \int_{0}^{1} \frac{4\sqrt{u}}{(1+u)^2} \, \mathrm{d}u \tag{$u = \frac{1+t}{3-t}$} \\ &= \frac{4}{\pi} (\pi - 2). \end{align*}
Al sustituir estos valores en $\text{(1)}$, se sigue entonces que
$$ p(0) = 2 - \frac{4}{\pi}. $$
[Stö49] Alfred Stöhr. Über einige lineare partielle differenzengleichungen mit konstanten koeffizienten. Mathematische Nachrichten, 3(6):330–357, 1949.
