Los tensores localmente constantes son el tensor cero en variedades cerradas

Question

Supongamos que tengo $M^2$ una variedad riemanniana cerrada (es decir, compacta sin frontera), y

$$T: \text{Sym}^2(TM) \to \mathbb{R}$$

Coordenar un conjunto abierto $U \subseteq M^2$ con $\{(x,y)\}$. Supongamos que sé que

$$ T(\partial_x, \partial_x), T(\partial_x, \partial_y), T(\partial_y, \partial_y)$$

son constantes en $U$. Esto se cumple para cualquier sistema de coordenadas en $U$, así como para cualquier $U$ que admita un mapeo de cartas. ¿Puedo concluir que $T$ es el $0$ tensor de dos componentes? ¿O puedo concluir algo en general sobre $T$?

Con funciones, simplemente se pegaría juntos el valor a través de todas las cartas, pero esto no tiene sentido para tensores ya que el espacio tangente es diferente para cada punto. ¿Tal vez $M$ es paralelizable?

Answer 1

Para mayor comodidad, asumamos que $T_{xx} = c \ne 0$ y que $x > 0$ en $U.$ Si realizamos el cambio de variables $(x,y) \to (z,y)$ tal que $x = z^2,$ entonces $$T_{zz} = \left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)^2T_{xx} = 4z^2T_{xx} = 4cz^2$$ que no es constante. Por lo tanto, el único tensor que es constante en todas las coordenadas es el tensor cero.