¿Cuál es el significado del grupo de clases ideal?

Question

Cuando aprendí por primera vez sobre el grupo de clases ideal, aprendí que mide el fracaso de la factorización única en un anillo numérico. La principal justificación para esto es que un anillo numérico tiene factorización única si y solo si tiene número de clase $1$.

Esto es muy insatisfactorio sin embargo, porque no se utiliza el tamaño exacto del grupo de clases, ni la estructura completa del grupo de clases. Además, la dicotomía de "UFD / no UFD", aunque es un primer paso importante, no mide el alcance en que falla la factorización única, solo si falla o no. Entonces mis preguntas son:

1. ¿De qué manera el tamaño exacto del grupo de clases mide el alcance en que un anillo numérico falla en tener factorización única? (Más allá de la dicotomía del número de clase $1$ vs. no $1$.)

2. ¿De qué manera la estructura de grupo del grupo de clases mide el alcance en que un anillo numérico falla en tener factorización única? Esto no lo entiendo bien: si el grupo de clases es $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$ versus $\mathbb{Z}/4$, ¿esa diferencia está midiendo algo relacionado con la factorización única? ¿Qué está midiendo en absoluto?

Esta es una pregunta que se ha hecho algunas veces en SE antes (ver aquí y aquí) pero las respuestas no eran exactamente lo que estaba buscando, así que quería preguntarlo de nuevo. ¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Todos dicen que el grupo de clases "mide" el fracaso de la factorización única, pero el único sentido de medir ese fracaso es exactamente lo que notaste: número de clases 1 vs. número de clases mayor a 1. Esa es la única justificación para términos como "medir el fracaso". Edición: Con "único sentido" me refiero a que las personas que enseñan sobre grupos de clases ideales en clases de teoría algebraica de números no tienen un significado más grandioso en mente que la distinción $h=1$ y $h > 1$ cuando hablan sobre grupos de clases ideales midiendo el fracaso de la factorización única. Hay descripciones de la estructura del grupo de clases ideales en términos de cómo se factorizan los elementos en otros elementos (ver el enlace en el comentario de Bill Dubuque arriba), pero eso no es lo que la gente tiene en mente cuando habla sobre grupos de clases ideales "midiendo el fracaso" de la factorización única.

Esto es típico en matemáticas: se construye un grupo (o espacio vectorial, etc.) para cada objeto en alguna familia y el grupo es no trivial si alguna propiedad agradable no se cumple. Llamemos a la propiedad agradable "wakalixes". Entonces, le dices al mundo "este grupo mide el fracaso de wakalixes" y eso lleva a generaciones de estudiantes a preguntar "¿Qué quieres decir con que mide el fracaso? ¿Qué significa tener un grupo de wakalixes no triviales o algún otro grupo de wakalixes no isomorfo en realidad?" Y la respuesta es "Todo eso significa que wakalixes falla en ambos casos". No hay otro significado pretendido en general. En teoría de números, topología, etc., cuando intentas hacer algo y te encuentras con un artilugio que es trivial cuando puedes hacer lo que quieres y no trivial cuando no puedes hacer lo que quieres, llamas al artilugio "una medida del fracaso" de hacer lo que quieres o "una obstrucción" para hacer lo que quieres.

Los grupos de clases ideales tienen interpretaciones y aplicaciones que no son directamente sobre el fracaso o no de la factorización única, y tales aplicaciones son mucho más importantes para el papel de los grupos de clases ideales en teoría de números que tratar de intuir un significado terrenal sobre un grupo de clases siendo cíclico de orden $4$.

Tal vez el siguiente punto te interese. Si reemplazas $\mathcal O_K$ con $\mathcal O_K[1/\alpha]$ donde $\alpha$ es un elemento no nulo de $\mathcal O_K$ tal que el grupo de clases ideal de $K$ está generado por clases ideales de los ideales primos que dividen $(\alpha)$, entonces $\mathcal O_K[1/\alpha]$ es un PID. Por ejemplo, $\mathbf Z[\sqrt{-5}]$ tiene número de clase 2 generado por la clase ideal del ideal primo $\mathfrak p = (2,1+\sqrt{-5})$. Tenemos $\mathfrak p^2 = (2)$ y $\mathbf Z[\sqrt{-5},1/2]$ es un PID. Más generalmente, para un anillo de $S$-enteros $\mathcal O_{K,S}$, donde $S$ es un conjunto finito de lugares de $K$ que contiene todos los lugares arquimedianos, el grupo de clases ideal es un grupo cociente del grupo de clases ideal de $\mathcal O_K$ (los detalles están en la respuesta aquí), así que mediante la inclusión en $S$ de un conjunto adecuado de primos puedes eliminar gradualmente todo el grupo de clases y te quedas con un PID. De esta manera, el grupo de clases te dice cómo ampliar $\mathcal O_K$ de una manera suave para recuperar la factorización única manteniendo otras propiedades agradables (como un grupo de unidades finitamente generado, lo cual no sucedería si hicieras algo extremo y simplemente reemplazaras $\mathcal O_K$ por $K$).

Cuando era estudiante de posgrado, me molestaba mucho encontrar el mismo lema ("mide el fracaso...") en topología algebraica con grupos de homología. Le pregunté a un investigador postdoctoral "Si te dijera que $H_{37}(X)$ tiene un valor particular, ¿eso automáticamente significaría algo para ti?" Y el investigador postdoctoral dijo "No".

Answer 2

Tal vez puedas adoptar otro punto de vista: el grupo de clases mide el fracaso de los ideales siendo principales.

Esto es más significativo:

• si el grupo de clases es $\Bbb Z/2\times\Bbb Z/2$, entonces hay ideales que no son principales, pero el cuadrado de cualquier ideal es principal.
• si el grupo de clases es $\Bbb Z/4$, entonces es posible que el cuadrado de un ideal todavía no sea principal.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que el grupo de clases no mide el número de generadores necesarios para un ideal, ya que cualquier ideal (de un anillo de enteros) puede ser generado por dos elementos.

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Para ampliar más sobre la parte de factorización única:

Recordemos que el nombre "ideal" proviene de "números ideales", que fueron inventados por Kummer cuando se dio cuenta de que la factorización única no se cumple para el anillo de enteros de un campo ciclotómico (que se utilizó en una famosa "demostración" del último teorema de Fermat).

Kummer luego descubrió que, si agregamos algunos "números" más al anillo de enteros, entonces podemos tener factorización única. Hoy entendemos que Kummer estaba hablando de la factorización única de ideales de un dominio de Dedekind.

Estos "números" adicionales son lo que él llamaba "números ideales". Ten en cuenta que los números habituales (es decir, elementos del anillo de enteros) se pueden ver como números ideales al identificar un número con el ideal principal que genera.

Entonces tiene sentido decir que el grupo de clases mide el fracaso de la factorización única: el grupo de clases mide "cuántos" números ideales adicionales hay que añadir para lograr la factorización única.

Por ejemplo, si el grupo de clases tiene orden $4$, entonces deberíamos añadir tres veces más números ideales a los números habituales.

Además, la estructura de grupo del grupo de clases refleja "cómo" los números ideales deben ser añadidos a los números habituales. Esto es un poco más difícil de visualizar, pero imagina algo como $\Lambda = \Bbb Z(1, 0)\oplus \Bbb Z(0, 1)$, y dos formas de "añadir tres veces más números": $\Lambda_1 = \Bbb Z(\frac 1 4, 0) \oplus \Bbb Z(0, 1)$ vs $\Lambda_2 = \Bbb Z(\frac 1 2, 0) \oplus \Bbb Z(0, \frac 1 2)$.

Answer 3

Hay al menos un resultado satisfactorio que muestra que no es solo la dicotomía de $CN=1$ vs $CN\ne 1$ lo que importa para medir el fracaso de la factorización única. En la clase número $2$, aunque las factorizaciones no son únicas, al menos sus longitudes son únicas, es decir, todas las factorizaciones en factores irreducibles tienen el mismo número de factores. En la clase número $3$ y superiores, las longitudes ya no son únicas.

(Ver ejercicios 15-16 del capítulo 12 de Ireland & Rosen.)

Answer 4

El grupo de clase mide el grado en el que el anillo de números subyacente necesita "ayuda" de ideales para fijar la factorización única.

Por ejemplo, $\mathbf{Z}$ tiene un número de clase de 1, por lo que no necesita ninguna ayuda.

Pero $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ tiene un número de clase de 2, por lo que necesitamos trabajar con ideales adicionales que no son principales.

Answer 5

Puede que quiera leer esta respuesta, en la que se modifica un dominio con número de clase 2 superponiendo la retícula de sus enteros con una segunda retícula, cuyos elementos son sumas que involucran dos términos de raíz cuadrada (como $(1/2)(\sqrt{2}+\sqrt{-10})$ en la ampliación de $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$). Cuando se multiplican dos a dos, estos dan productos que están en el dominio original. La factorización única con esta ampliación se convierte entonces en factorizaciones no únicas en el dominio original emparejando de diferentes formas los factores del dominio ampliado. Por ejemplo,

$6=(\sqrt{2})^2\left(\dfrac{\sqrt2+\sqrt{-10}}2\right)\left(\dfrac{\sqrt2-\sqrt{-10}}2\right)$

da como resultado $2×3$ si los factores anteriores se emparejan de una forma pero $(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) con un emparejamiento diferente.

Esto funciona con número de clase 2 donde el grupo de clases debe tener un único ciclo de 2, y puede generalizarse para números de clase más altos si el grupo de clases consiste únicamente de múltiples ciclos de 2 (ver aquí un ejemplo que involucra número de clase 4). Con cualquier grupo de clases que involucre ciclos más grandes, como todos los dominios de clase 3 donde el grupo de clases debe tener un ciclo de 3 o dominios de clase 4 donde el grupo de clases es $\mathbb Z/4\mathbb Z$ en lugar de $\mathbb Z/2\mathbb Z×\mathbb Z/2\mathbb Z$, esta extracción de raíz cuadrada no funciona y si se quiere reparar la factorización única en absoluto, se necesita una incrustación más compleja.