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¿Qué tan "igual" son dos grupos isomorfos?

Por lo que entiendo acerca de los isomorfismos es que dos grupos isomorfos son los mismos grupos. Pueden tener nombres diferentes para los mismos elementos y la operación. Pero el punto es que los grupos son los mismos ya que sus elementos se combinan de la misma manera.

Entonces, si $G \cong G'$ entonces cada propiedad de grupo sobre $G$ también se cumple para $G'$, ¿estoy en lo correcto?

Ahora mi pregunta es— ¿Puedo intercambiar $G$ y $G'$ cuando y donde quiera? Pensé que la respuesta era obviamente sí pero... ahora no estoy seguro.

Por ejemplo: $\mathbb{Z} \cong \mathbb{2Z}$ entonces ¿no debería $\mathbb{Z}/\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$ bajo la operación de grupo $(a+H) + (b +H) = (a+b) + H$? donde $H$ es ya sea $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{2Z}$ ya que ambos son los mismos grupos.

Pero claramente ese no es el caso ya que $\mathbb{Z}/\mathbb{Z} = \{0\}$ pero $\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}=\{0,1\}$ Entonces ¿dónde se traza la línea entre dos grupos isomorfos? ¿Qué tan "mismos" son dos grupos isomorfos? Estoy muy confundido.

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Arthur Puntos 136

Esta es una gran pregunta y tu ejemplo con cocientes de grupos destaca perfectamente por qué uno tiene que ser cuidadoso acerca de las nociones de identidad al hacer matemáticas. Para responder a tu pregunta,

¿Puedo intercambiar G y G′ siempre que quiera y donde quiera?

La respuesta es sí, siempre y cuando estés 100% seguro de que estás pensando en ambos grupos literalmente como solo grupos y nada más (a veces la gente usará la frase 'hasta isomorfismo' para transmitir esta idea). Esto resuelve el problema que tenías con los cocientes: no puedes cocientar un grupo arbitrario por otro grupo arbitrario, el grupo por el cual estás realizando el cociente tiene que ser un subgrupo del otro. Este es un 'dato' extra que se puede codificar de varias maneras, una manera agradable es considerar la inyección especial que inserta un grupo dentro del otro (que no existe para dos grupos arbitrarios). Así que para resumir, los subgrupos no son solo grupos, son grupos con algunos datos adicionales y $2\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}$ son subgrupos diferentes de $\mathbb{Z}$ a pesar de ser 'los mismos' grupos (es decir, isomorfos).

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Steven Creech Puntos 18

Aquí hay una pregunta similar: ¿cuándo podemos reemplazar cosas equivalentes unas por otras?

Entonces, si recordamos que un isomorfismo de grupos es una función $\phi: G\rightarrow G'$. Con el ejemplo que diste, tienes $\phi: \mathbb{Z}\rightarrow 2\mathbb{Z}$, entonces tu problema fue que $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\not\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Sin embargo, el problema radica en dónde estás aplicando el homomorfismo. Estás diciendo que $G/G\not\cong G/\phi(G)$; sin embargo, tenemos que $\phi(G)\subset G'$ y $\phi(G)\not\subset G$ (aunque pueda ser isomorfo a algún subgrupo de $G$ como en tu ejemplo).

El uso clave de un isomorfismo es que puedes tomar un problema en un entorno y verlo en otro entorno a través del isomorfismo. Por lo tanto, lo que sería cierto es que si $\phi: G\rightarrow G'$ es un isomorfismo, entonces si $H\lhd G$, entonces se dará que $G/H\cong \phi(G)/\phi(H)$.

Creo que en resumen, cuando tienes un isomorfismo entre dos objetos debes pensar en ellos como viviendo en espacios diferentes. Si estás familiarizado con el retículo de subgrupos, creo que esta es una buena forma de verlo, ya que si tienes $\phi: G\rightarrow G'$ donde $G=\mathbb{Z}$ y $G'=2\mathbb{Z}$ dado que estos son grupos isomorfos, sus retículos de subgrupos son isomorfos y debemos pensar en $\mathbb{Z}$ como el elemento maximal en el retículo de $G$ y $2\mathbb{Z}$ como el elemento maximal en el retículo de $G'$. Aunque tengamos que $2\mathbb{Z}$ aparezca en el retículo de $G$, el elemento correspondiente en $G'$ sería el subgrupo $4\mathbb{Z}$, entonces bajo el isomorfismo no tendría sentido "reemplazar $2\mathbb{Z}$ en el mundo de $G$ con $2\mathbb{Z}$ en el mundo de $G'$" ya que no son lo mismo bajo el isomorfismo. Lo que haríamos es reemplazar el $2\mathbb{Z}$ con el subgrupo correspondiente en el isomorfismo, es decir, $4\mathbb{Z}$, y al hacerlo tenemos que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cong 2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.

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MJD Puntos 37705

Esta es simplemente una ampliación de la respuesta de Arthur en otro lugar de este hilo. Pensé que le gustaría ver un ejemplo específico.

Consideremos $$G = \color{maroon}{\Bbb Z_2}\times \color{darkblue}{\Bbb Z_4}.$$

$G$ tiene un subgrupo $A$ que es generado por $\langle 1, 0\rangle$:

$$\def\elt#1#2{\langle{#1},{#2}\rangle}A = \{\elt10, \elt 00\}$$

y otro subgrupo $B$ que es generado por $\langle 0, 2\rangle$:

$$B=\{\elt00, \elt 02\}$$

Ambos $A$ y $B$ son isomorfos a $\Bbb Z_2$, y por lo tanto entre sí. Pero los cocientes $G/A$ y $G/B$ no son isomorfos. $G/A$ es como tomar $G$, ignorando el primer componente, y manteniendo intacto el segundo componente. El resultado es $$G/A \simeq \color{maroon}{\Bbb Z_1}\times\color{darkblue}{\Bbb Z_4}.$$ $G/B$ es como tomar $G$ y mantener el primer componente pero ignorando todo excepto la paridad del segundo componente. El resultado es $$G/B \simeq \color{maroon}{\Bbb Z_2}\times\color{darkblue}{\Bbb Z_2}.$$ Aunque $A$ y $B$ son isomorfos, $G/A$ y $G/B$ no son isomorfos. (En particular, $G/A$ es cíclico y $G/B$ no lo es.)

Cada componente de $G = \color{maroon}{\Bbb Z_2}\times \color{darkblue}{\Bbb Z_4}$ contiene un factor de $\Bbb Z_2$. Cada uno de los subgrupos $A$ y $B$ es isomorfo a $\Bbb Z_2$. Cuando construimos el cociente de $G$ por $A$ o $B$, obtenemos un resultado diferente dependiendo de qué componente dividimos el factor.

Dos grupos que son isomorfos comparten la misma estructura interna. Pero un cociente $G/N$ no solamente depende de las estructuras internas de $G$ y $N$. El cociente también depende de la relación entre $G$ y $N$. Por lo tanto, aunque $A$ y $B$ tienen la misma estructura interna, $G/A$ y $G/B$ son diferentes, porque esas estructuras residen dentro de $G$ de diferentes maneras.

2voto

C.F.G Puntos 13

Versión topológica e ilustrada de la respuesta amable de Arthur:

Un nudo trébol $K_3$ en $\Bbb R^3$ no puede desanudarse pero sí puede en $\Bbb R^4$. Topológicamente, un nudo trébol $K_3$ y un círculo son homeomórficos, es decir, uno se puede deformar en el otro sin cortar ni pegar. Por lo tanto, estos dos (uno en $\Bbb R^3$ y otro en $\Bbb R^4$) son lo mismo pero uno descubre una rama de las matemáticas conocida como Teoría de nudos mientras que el otro es infructuoso desde este punto de vista y aplicación.

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Creo que estos "mismos objetos" son una noción categórica pero no estoy seguro.

Lo mismo es cierto para $y=x$ y $y=\exp(x)$; ambos topológicamente son homeomorfos a $\Bbb R$, pero uno contiene solo números positivos. Se pueden decir propiedades similares al considerarlos como grupos aditivos y multiplicativos.

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laleh8798 Puntos 16

Permítanme, para mayor comodidad, primero asumir que todos los subgrupos son normales, o que estamos en un grupo abeliano.

Formamos cocientes de un grupo por sus subgrupos, no por otro grupo abstracto. Subgrupo significa un subconjunto ESPECÍFICO (que está cerrado....) Como grupos Z y 2Z son "iguales". Pero como subconjuntos de Z son diferentes.

Ahora para el caso no abeliano. Tomemos $G= \{+1,-1\}\times S_3$ donde el primer factor $H$ es un grupo (de orden 2) con respecto a la multiplicación de números.

Este grupo $G$ tiene más subgrupos de orden 2 (isomórficos a H como grupo) es decir aquellos generados por una transposición en el segundo factor $S_3$. Estos subgrupos ni siquiera son normales en $G$. Por lo tanto, el cociente ni siquiera existe por estos subgrupos.

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