Por lo que entiendo acerca de los isomorfismos es que dos grupos isomorfos son los mismos grupos. Pueden tener nombres diferentes para los mismos elementos y la operación. Pero el punto es que los grupos son los mismos ya que sus elementos se combinan de la misma manera.
Entonces, si $G \cong G'$ entonces cada propiedad de grupo sobre $G$ también se cumple para $G'$, ¿estoy en lo correcto?
Ahora mi pregunta es— ¿Puedo intercambiar $G$ y $G'$ cuando y donde quiera? Pensé que la respuesta era obviamente sí pero... ahora no estoy seguro.
Por ejemplo: $\mathbb{Z} \cong \mathbb{2Z}$ entonces ¿no debería $\mathbb{Z}/\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$ bajo la operación de grupo $(a+H) + (b +H) = (a+b) + H$? donde $H$ es ya sea $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{2Z}$ ya que ambos son los mismos grupos.
Pero claramente ese no es el caso ya que $\mathbb{Z}/\mathbb{Z} = \{0\}$ pero $\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}=\{0,1\}$ Entonces ¿dónde se traza la línea entre dos grupos isomorfos? ¿Qué tan "mismos" son dos grupos isomorfos? Estoy muy confundido.