$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$

Question

La ecuación $$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$$ representa un par de líneas paralelas. Demuestra que la ecuación de la línea ubicada a mitad de camino entre las dos líneas paralelas es $hx+by+f=0

Mi intento:

Sean las líneas $lx+my+n_1=0$ y $lx+my+n_2=0$. Entonces, $$(lx+my+n_1)(lx+my+n_2)=0$$

Comparando la ecuación anterior con $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$, obtenemos: $l^2=a, m^2=b, lm=h, l(n_1+n_2)=2g, m(n_1+n_2)$

También,

la distancia entre las dos líneas paralelas representadas por la ecuación dada es $d=2 \sqrt {\frac {g^2 -ac}{a(a+b)}}$

$d=2 \sqrt {\frac {g^2 -ac}{h^2 +a^2}}$?

Ahora, ¿qué debo hacer para completar la demostración?

Answer 1

La línea a medio camino entre líneas paralelas $lx+my+n_1=0$ y $lx+my+n_2=0$ es $$lx+my+\frac{n_1+n_2}{2}=0.$$

¿Por qué?

Cuando se trata de líneas paralelas, la distancia en cualquier dirección es suficiente para buscar la línea media. No es necesario tomar la línea perpendicular.

Por lo tanto, puedes considerar, por ejemplo, la distancia en la dirección del eje $y$. La línea $lx+my+n=0$ cruza el eje vertical en el punto $(0,−n/m)$. Por supuesto, es lo mismo para $n_1$ y $n_2$.

Entonces, las distancias entre cualquiera de esos puntos $(0,a)$ y $(0,b)$ están dadas por $|a-b|$. En particular, en el caso de las líneas paralelas, la línea media debe satisfacer $|n_1-n|=|n-n_2|$.

Answer 2

Aclarando la última pista. La línea media también es paralela a las otras líneas, por lo que tiene la forma: $$lx+my+d=0\tag{1}$$ pero se encuentra en el medio, por lo que $(0,-n_1/m)$ en la primera línea y $(0,-n_2/m)$ en la segunda línea se encuentran en la misma línea vertical y luego el punto medio $(0, -(n_1+n_2)/2m)$ debe pertenecer a la línea (1). Es por eso que debemos tener $d=(n_1+n_2)/2$.