¿Hay afirmaciones tan obvias que escribir una prueba para ellas sea inútil? ¿Es este un ejemplo de una?

Question

Contexto: No sé nada sobre demostraciones y apenas un poco sobre lógica formal utilizada en las demostraciones. Estoy tratando de aprender lo básico de cómo escribir una demostración.

Por ejemplo, supongamos que quisiera demostrar que "todos los enteros divisibles por 4 también son divisibles por 2".

Mi primera reacción sería: "Es obvio, porque 4 es simplemente 2*2". Pero obviamente esto no es una prueba formal.

Otro intento: "Cualquier entero n que sea divisible por 4 debe tener 2*2 como parte de su factorización prima, por lo tanto es divisible por 2." Pero parece que estamos explicando algo simple con algo más complejo.

Parece que simplemente se supone que sepa que "todos los enteros divisibles por 4 también son divisibles por 2" y se toma por sentado. ¿O se supone que uno debe saber, más generalmente, que todos los enteros divisibles por N también son divisibles por P si N es divisible por P? ¿Se debe saber esto de antemano? ¿Los matemáticos a veces simplemente dicen "es verdad porque es obvio"?.

Answer 1

¡Gran pregunta, y bien hecho por pensar cuidadosamente en los conceptos básicos de la prueba y las matemáticas. ¡Vamos a ello!

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Parece que simplemente se supone que se sabe que "todos los enteros divisibles por 4 también son divisibles por 2" y se da por sentado.

¡Esto no es cierto! Podemos y debemos probarlo.

Para probar una afirmación, debemos saber qué significa. En este caso, debemos definir "divisible".

Definición. Sean $a$ y $b$ enteros. Decimos que "$a$ es divisible por $b$" si existe un entero $c$ tal que $a = bc$.

Ahora que sabemos qué significa la afirmación, ¡podemos probarlo!

Proposición. Sea $a$ un entero. Si $a$ es divisible por $4$, entonces $a$ es divisible por $2$.

Prueba. Supongamos que $a$ es divisible por $4$. Esto significa que hay un entero $c$ tal que $a = 4c$. Equivalente, $a = 2(2c)$. Dado que $c$ es un entero, $2c$ es un entero. Así, $a$ es divisible por $2$. $\square$

Por supuesto, sería molesto volver a probar miles de afirmaciones diferentes como esta para cada instancia de un hecho básico de divisibilidad que necesitamos usar. Así que es mucho mejor probar afirmaciones generales como la que sugeriste. ¿Puedes intentar probar la siguiente afirmación más general?

Proposición. Sean $a$, $b$ y $c$ enteros. Si $a$ es divisible por $b$ y $b$ es divisible por $c$, entonces $a$ es divisible por $c$.

Prueba. ¡Lléname!

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Todo en matemáticas es así. Cuando queremos saber que algo es cierto, primero debemos hacer definiciones cuidadosas para especificar exactamente lo que queremos probar. ¡Una vez que tengamos esas definiciones en su lugar, podemos intentar probar lo que sea!

Answer 2

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No

Nada es "evidente por sí mismo" en matemáticas, aunque esta es una posición relativamente nueva (circa. 150 años). Durante milenios, los matemáticos consideraron los axiomas (o postulados) como evidentes por sí mismos, pero ahora los consideramos como suposiciones no demostrables que son aceptadas para poder hacer matemáticas, y cada rama de las matemáticas puede (probablemente) basarse en diferentes axiomas.

Por ejemplo, los postulados de la geometría euclidiana son:

1. Dados dos puntos distintos, existe una línea que los contiene.
2. Cualquier segmento de línea puede extenderse a una línea infinita.
3. Dado un punto y un radio, existe un círculo con centro en ese punto y ese radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores a dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se prolongan indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que están los ángulos menores a los dos ángulos rectos. (El postulado paralelo).

Por siglos, el postulado paralelo preocupó a la gente - no es conciso como los otros cuatro, y no parece tan "evidente por sí mismo" - seguramente, ¿se puede demostrar a partir de los otros cuatro? Pero no se puede. Si lo quitas, obtienes una rama diferente de las matemáticas, la geometría no euclidiana, donde, entre otras cosas, los ángulos interiores de los triángulos no suman 180o. En gran medida, fue el desarrollo de las geometrías no euclidianas lo que llevó a los matemáticos a darse cuenta de que los axiomas no son "evidentes por sí mismos" de la misma manera en que las reglas del fútbol de asociación no son evidentes por sí mismas; son solo las reglas que debes aceptar si quieres jugar el juego.

Una declaración matemática solo puede ser de los siguientes tipos:

• Un axioma, postulado o suposición que, tal como se enuncia, se acepta como verdadero para formar la base de la disciplina.
• Un teorema es una declaración que se ha demostrado a partir de los axiomas. Un lema es un teorema menor que se demuestra en el camino hacia un teorema mayor. Un corolario es un teorema que surge como subproducto; por ejemplo, al demostrar dos lemas, un tercero también puede ser demostrado combinando los dos primeros sin más pasos.
• Una conjetura es una proposición que se ofrece de manera tentativa sin prueba. Una conjetura puede resolverse por prueba (convirtiéndose en un teorema), por falsificación (convirtiéndose en basura), al ser aceptada como una conjetura independiente (convirtiéndose en un axioma en una nueva rama de las matemáticas), o puede ser indecidible (a partir del teorema de incompletitud de Gödel - desafortunadamente, para la mayoría de las conjeturas, es indecidible si son indecidibles). Es posible (y se hace) construir ramas enteras de las matemáticas basadas en conjeturas con la esperanza de que algún día alguien la pruebe.

Dado que estás trabajando con los números naturales, necesitas conocer los axiomas de Peano para los números naturales:

1. 0 es un número natural.
2. Para cada número natural x, x = x. Es decir, la igualdad es reflexiva.
3. Para todos los números naturales x e y, si x = y, entonces y = x. Es decir, la igualdad es simétrica.
4. Para todos los números naturales x, y y z, si x = y y y = z, entonces x = z. Es decir, la igualdad es transitiva.
5. Para todo a y b, si b es un número natural y a = b, entonces a también es un número natural. Es decir, los números naturales son cerrados bajo la igualdad.
6. Para cada número natural n, S(n) es un número natural, donde S es la función sucesor univaluada (es decir, S(n)=n+1). Es decir, los números naturales son cerrados bajo S.
7. Para todos los números naturales m y n, si S(m) = S(n), entonces m = n. Es decir, S es una función inyectiva.
8. Para cada número natural n, S(n) = 0 es falso. Es decir, no hay ningún número natural cuyo sucesor sea 0.
9. Si K es un conjunto tal que: (a) 0 está en K, y (b) para cada número natural n, n está en K implica que S(n) está en K, entonces K contiene todos los números naturales. Es decir, cualquier número natural se puede obtener aplicando la función sucesor suficientemente veces a 0.

Ninguno de estos es "evidentemente" verdadero; son solo las reglas que necesitamos para definir qué son los números naturales son. Además, son insuficientes para definir los números enteros, los racionales, los reales o los números complejos - cada uno de esos necesita axiomas adicionales. Tampoco ayudan mucho en la definición de la geometría - euclidiana o de otro tipo.

A partir de estos axiomas, podemos definir la suma y demostrar su conmutatividad. Dada la suma, podemos definir la multiplicación y demostrar que es conmutativa y distributiva sobre la suma. Una vez que tenemos eso, podemos probar tu proposición.

Sin embargo, no es necesario demostrar todo desde cero cada vez - puedes confiar en los teoremas demostrados por otros. Por ejemplo, la prueba de @diracdeltafunk asume la multiplicación, lo cual es una suposición perfectamente razonable, pero también supone que entiendes la definición de multiplicación en los números naturales, de nuevo, una presunción perfectamente razonable. Sin embargo, para ser una prueba realmente rigurosa, debería declarar que se basa en la definición de multiplicación en los números naturales.

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Answer 3

Existe una vieja broma, a veces atribuida a Wolfgang Pauli, sobre un matemático que dice "Es obvio que ..." y cuando se le pregunta "¿Realmente lo es?" pasa una gran cantidad de tiempo pensando en ello (posiblemente incluso escribiendo una extensa prueba) antes de finalmente decir "Sí, es obvio."

Las cosas que hacemos en matemáticas necesitan ser rigurosas, y cuando los matemáticos examinaron algunas de las cosas que anteriormente se daban por sentado encontraron que en realidad no solo no eran obvias, sino que potencialmente estaban erróneas a un nivel bastante fundamental.

Hay otra broma que dice que se necesitaron 1000 páginas para demostrar que $1+1=2$. El Principia Mathematica es un libro que intenta construir las matemáticas desde cero, con completa rigurosidad, comenzando con el concepto mismo de lo que significa que una afirmación sea demostrable, y el lenguaje necesario para incluso decir qué significa realmente $1+1=2$. Una vez establecido eso, en realidad probar que es verdadero - en este marco particular - solo lleva unas pocas líneas.

Una vez que algo ha sido probado, sin embargo, es esencialmente "material libre" para las matemáticas futuras. Si necesito usar $1+1=2$ en mi propia prueba, no tengo que escribir todo el Principia, puedo simplemente decir "$1+1=2$ (Russell and Whitehead, 1913)". De hecho, usualmente solo necesito incluir la referencia si es una afirmación que no se considera fundamental para el tema en el que estoy trabajando. Así que $1+1=2$ se considera en este momento un hecho básico en prácticamente cualquier rama de las matemáticas que pueda necesitar hacer referencia a él, al igual que la afirmación "Si $p$ divide a $a$ y $a$ divide a $b$ entonces $p$ divide a $b$". Pero eso aún depende de tener una comprensión clara de lo que todo eso significa y del contexto en el que lo estamos utilizando. Incluso hay momentos en los que una prueba necesitará usar un resultado más pequeño (llamado lema) y el autor solo esbozará una prueba básica si se espera que la audiencia pueda completar los espacios en blanco por sí mismos.

Si tomas cursos de nivel universitario en temas como lógica, escritura de pruebas o teoría de números terminarás demostrando muchas de estas cosas aparentemente obvias, y te dará una apreciación de lo importante que es poder hacer esto porque a los matemáticos les gusta generalizar estructuras comunes (cosas como grupos, anillos y campos son generalizaciones de conjuntos como los números naturales y los números reales) y no todas las pruebas pasan sin problemas. Puedes tener una estructura donde "$p$ divide a $a$" es una afirmación significativa, pero ¿sigue siendo cierto que "$p$ divide a $a$ y $a$ divide a $b$ significa que $p$ divide a $b$"? Mejor revisa la prueba de eso en los números naturales y verifica si sigue aplicándose aquí.

Entonces, para responder tu pregunta, sí, es obvio.

Answer 4

A mayor nivel, más sintética es la prueba de una proposición o teorema, lo cual se debe a razones prácticas y situacionales. En nivel elemental se necesita ser lo suficientemente explícito mientras que en alto nivel en general la prueba es corta, incomprensible para principiantes porque se basa en conocimientos previos.

Esto no impide que una prueba larga pueda ser significativamente acortada utilizando otro método. Un ejemplo de esto es dado por las pruebas de Mordell y Weil del descubrimiento de Mordell del teorema de base finita para las curvas elípticas (la prueba de Weil es más corta y más simple que la de Mordell pero ambas pruebas son rigurosas). Otro ejemplo muy notable es dado por las pruebas de la irresolubilidad con radicales de ecuaciones de grado mayor o igual a $5$, dadas primero por Abel y luego por Galois, siendo la primera muy intrincada y la segunda elegantemente concisa.

Answer 5

Al margen de esta discusión, el libro de Poincaré: ciencia e hipótesis tiene una excelente presentación en el capítulo 1 sobre "la naturaleza del razonamiento matemático". Aborda la pregunta considerada aquí: "qué es las matemáticas, qué es una demostración matemática, cuál es el rigor necesario que subyace en ella, etc." y debería ser legible para cualquier persona que entienda la recursividad y la aritmética.