Sea $H$ un espacio de Hilbert de dimensional infinita y $U(H)$ el grupo de unitarios provisto de la topología de la norma.
¿Está conectado $U(H)$?
Lo siguiente es una generalización de la prueba en el caso de dimensional finita pero no funcionará para un unitario arbitrario:
Si consideramos un unitario $u$, entonces $\Bbb1, u, u^*$ generan un álgebra de $C^*$ abeliana isomorfa a $C(\sigma(u))$, aquí $\sigma(u)\subset S^1$ y $u$ corresponde a la función $\sigma(u)\to\Bbb C$, $z\mapsto z$. En caso de que $\sigma(u)\neq S^1$ se puede definir una homotopía en $S^1$ que deforma $\sigma(u)$ a un punto. Esta homotopía corresponderá a un camino que lleva a $u$ a $\Bbb1$ a través de unitarios en $C(\sigma(u))$ y por lo tanto en $U(H)$.
Para $\sigma(u)=S^1$ tal homotopía es imposible, y $u$ no está conectado a $\Bbb1$ en $C(\sigma(u))$. Sin embargo, si existe un camino en $U(H)$ conectando $u$ a un unitario con espectro menor que $S^1$, lo anterior dará el resultado.
Otro enfoque en el que había pensado era mirar la transformación de Cayley, sin embargo esta no tiene como imagen todo $U(H)$. Encontrar un logaritmo (es decir, un autoadjunto $A$ con $\exp(A)=u$) daría un camino desde $u$ a $\Bbb 1$ a través de $\exp(tA)$, pero este camino es solo continuo fuertemente y no continuo en la norma.
