Computación: $\sum_{n=0}^\infty\frac{3^n}{n!(n+3)}$

Question

Estoy aprendiendo el tema de Series de Potencias y no puedo entender cómo encontrar la suma de la serie $$\sum_{n=0}^\infty\frac{3^n}{n!(n+3)}$$.

Sé que la serie de potencias $\sum_{n=0}^\infty\frac{3^n}{n!(n+3)}x^n$ converge para cada $x$, y converge uniformemente en cada $[-r, r], r>0$ porque $\lim\limits_{n \to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\infty$. No sé cómo proceder, creo que debería usar la información de que esta serie de potencias converge uniformemente y luego de alguna manera integrar/diferenciar esta Serie de Potencias.

¡Gracias!

Answer 1

$$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{3^n}{n!\left(n+3\right)}=\frac{1}{27}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}\frac{3^{n+3}}{n+3} $$ Y $$ \frac{3^{n+3}}{n+3}=\int_{0}^{3}x^{n+2}\text{d}x $$ Por lo tanto se convierte (usando convergencia uniforme en cada compacto de $\mathbb{R}$ especialmente $\left[0,3\right]$) $$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{3^n}{n!\left(n+3\right)}=\frac{1}{27}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{3}x^{n+2}\text{d}x=\frac{1}{27}\int_{0}^{3}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}x^{n+2}\text{d}x $$ Entonces $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{3^n}{n!\left(n+3\right)}=\frac{1}{27}\int_{0}^{3}x^2e^{x}\text{d}x$$ Luego concluyes (integrando por partes) $$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{3^n}{n!\left(n+3\right)}=\frac{1}{27}\left(5e^3-2\right) $$

Answer 2

Solamente puedes usar la diferenciación de series de potencias de la siguiente manera

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{3^n}{n!(n+3)}= \sum_{n=0}^\infty\frac{(n+2)(n+1)3^n}{(n+3)!}=\sum_{n=3}^\infty\frac{(n-1)(n-2)3^{n-3}}{n!}\\= \frac{d^2}{dx^2}\left( \sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}}{n!}\right)\Bigg|_{x=3}= \frac{d^2}{dx^2}\left( -\frac{1}{x}+\frac1x\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n}}{n!}\right)\Bigg|_{x=3}\\=\frac{d^2}{dx^2}\left(-\frac{1}{x} +\frac{e^{x}}{x}\right)\Bigg|_{x=3}= \left(-\frac{2}{x^3} +\frac{e^{x}(x^2-2x+2)}{x^3}\right)\Bigg|_{x=3} \\ = \color{red}{\frac{1}{27}\left(5e^3-2\right)}$$

Answer 3

El enfoque con funciones hipergeométricas es $$ \sum_{n\ge 0}\frac{1}{n+3} \frac{3^n}{n!} = \sum_{n\ge 0}\frac{(3)_n}{3(4)_n} \frac{3^n}{n!} = \frac{1}{3}{}_1F_1(3;4;3). $$

La transformación de Kummer produce $$ _1F_1(3;4;3) = e^3{}_1F_1(1;4,-3). $$

Una relación contigua de esto es (ver por ejemplo la fórmula (13.4.6) del libro de Abramowitz-Stegun, en $a=1, b=4, z=-3$) $$ -3{}_1F_1(1;4;-3)+3{}_1F_1(0;4;-3) + (-3)_1F_1(1;3;-3)=0. $$ Entonces $$ -{}_1F_1(1;4;-3)+1 -{} _1F_1(1;3;-3)=0. $$ $$ {}_1F_1(1;4;-3)= 1-{}_1F_1(1;3;-3), $$ y esto ya está en el artículo de Wikipedia $$ _1F_1(1;3;-3) = 2(e^{-3}-1+3)/9 = \frac29(e^{-3}+2). $$ La inserción hacia atrás da el resultado.