Trabajando usando la identidad trigonométrica

Question

Hola, así que tengo esta ecuación

$$\frac{1-e^2}{1+e\cos(\theta -\theta_{0})} = 1-e\cos\eta$$

y usando la identidad

$$\cos\theta = \frac{1-\tan^2 \frac\theta2}{1+\tan^2 \frac\theta2}$$

esto se convierte en

$$\sqrt{1-e} \tan\left(\frac{\theta - \theta_{0}}2\right) = \sqrt{1+e} \tan\frac\eta2.$$

Sin embargo, no estoy seguro de los pasos intermedios. ¿Alguien puede ayudarme por favor?

Answer 1

Establezca $u=\tan((\theta-\theta_0)/2)$ y $v=\tan(\eta/2)$ para simplificar.

El lado izquierdo se convierte en $$ \frac{1-e^2}{1+e\dfrac{1-u^2}{1+u^2}} =\frac{(1-e^2)(1+u^2)}{(1+e)+(1-e)u^2} $$ El lado derecho se convierte en $$ 1-e\frac{1-v^2}{1+v^2}=\frac{(1-e)+(1+e)v^2}{1+v^2} $$ Es mejor establecer $M=1-e$ y $P=1+e$, así obtenemos una identidad más simple $$ \frac{MP(1+u^2)}{P+Mu^2}=\frac{M+Pv^2}{1+v^2} $$ que puede reorganizarse como $$ MP+MPv^2+MP(1+v^2)u^2=MP+P^2v^2+M^2u^2+MPu^2v^2 $$ Junte todos los términos con $u^2$ en el lado izquierdo $$ (MP+MPv^2-M^2-MPv^2)u^2=P^2v^2-MPv^2 $$ que se simplifica a $$ M(P-M)u^2=P(P-M)v^2 $$ Suponiendo que $P-M=1+e-1+e=2e\ne0$, esto se convierte en $$ (1-e)\tan^2\frac{\theta-\theta_0}{2}=(1+e)\tan^2\frac{\eta}{2} $$