Explique a un no físico qué es lo que va mal al intentar cuantificar la gravedad

Question

No soy físico, pero estoy tratando de entender un poco por qué es difícil extender el modelo estándar con la gravedad cuántica (es decir, por qué es difícil combinar la mecánica cuántica y la relatividad general), consulta por ejemplo Una lista de inconvenientes entre la mecánica cuántica y la (general) relatividad?

He leído en varios lugares que el problema es que cuando se intenta cuantificar la gravedad, se obtiene una "teoría no normalizable", consulta por ejemplo ¿Por qué la gravedad cuántica es no renormalizable? No sé exactamente qué significa esto. ¿Es posible explicarlo en términos físicos a un no experto? Ni siquiera estoy seguro de si el problema es que el modelo no puede ser definido, o que puede ser definido pero no tenemos las herramientas matemáticas para resolverlo.

Espero que haya una respuesta que explique esto a nivel de una persona genérica con conocimientos en matemáticas y ciencia. Las preguntas existentes asumen un montón de conocimientos de fondo que están más allá de mí. Realmente espero que haya una respuesta para un no físico que pueda explicar cuál es el problema sin entrar en muchos detalles técnicos, y sin asumir un montón de conocimientos específicos de QFT o de GR.

Answer 1

¿Qué exactamente sale mal al intentar cuantizar la gravedad? No hay ningún problema específico con la gravedad cuántica. Sé que no es la forma convencional de verlo, pero la física realmente no es controvertida... los físicos profesionales simplemente avanzan hacia el "problema real" sin explicar que el problema popular de la gravedad es más general.

Primero, "La gravedad cuántica no es renormalizable". Cierto, pero ¿y qué? Puedes aún cuantizar la gravedad, utilizando la maquinaria estándar de la teoría cuántica de campos efectiva, y obtener respuestas perfectamente significativas - en el límite de "baja energía", hasta correcciones cuánticas de primer y segundo orden. ¡Aquí tienes un artículo que lo hace!

• Quantum General Relativity and Effective Field Theory (PDF)

El hecho de que la gravedad cuántica no sea renormalizable simplemente significa que esta teoría falla en el límite de alta energía, por lo que no puede ser la verdad completa. Pero en principio podríamos medir esas correcciones cuánticas de primer y segundo orden y ver si la experimentación coincide con la teoría. La corrección cuántica de primer orden al potencial gravitatorio es proporcional a $1/r^2$.

Lo que es único acerca de la gravedad es que no podemos probar la predicción en ese artículo porque la gravedad es tan débil que esas correcciones cuánticas son extremadamente pequeñas para ser probadas. Para probar la "gravedad cuántica", necesitamos ir a altas energías, donde el hecho de que la gravedad cuántica no sea renormalizable nos perjudica.

Para comparar con la electrodinámica cuántica (QED), señalaría que epistemológicamente la física tiene exactamente el mismo problema con QED que con QG; simplemente que esto no nos causa ningún problema.

Con QED, también no conocemos el comportamiento de alta energía de la teoría, con resultados sin sentido a energías muy altas; tiene un polo de Landau. Sin embargo, para QED, la renormalizabilidad nos da la capacidad de hacer predicciones a baja energía, que podemos probar, y que son impresionantemente correctas y precisas. El hecho de que QED tenga un polo de Landau muestra que "algo sucede" a una energía más alta, y ese algo es la teoría electrodébil. La teoría electrodébil también tiene un polo de Landau, por lo que nuevamente, "algo sucede" a una energía más alta. Pero ese polo de Landau estaría a una energía estúpidamente alta.

La razón subyacente por la que los físicos tienen problemas con la Gravedad Cuántica es que, cuando realizas los cálculos, en realidad es la QG la que explota primero. Por alto que sea, la energía de Planck asociada con la gravedad es mucho más baja que las energías implícitas de la explosión de las fuerzas electro débiles y fuertes que es la que determina nuestro "nivel de ignorancia". La suposición es que si comprendiéramos completamente la gravedad, arreglaría el comportamiento de alta energía de todas las fuerzas, pero eso puede que no sea cierto.

Answer 2

Daré una breve explicación de la renormalización. Supongamos que tienes un solo electrón. Según la electrostática, produce un potencial: $$V(r)=\frac{e}{r}$$

Este potencial parece indicar que el potencial aumenta sin límite a medida que te acercas al electrón. En realidad, eso no sucede. Más bien, a medida que la energía aumenta se crean otros tipos de partículas y sumar sus efectos da un potencial diferente que da respuestas finitas a preguntas sobre la energía del electrón dependiendo de cómo se esté acoplando a él. Si envías un electrón de baja energía en su dirección, obtendrás una respuesta finita si preguntas con qué energía terminan ambos. Si envías un electrón de mayor energía, obtendrás respuestas diferentes pero seguirán siendo finitas. Entender cómo cambian las respuestas con la energía como resultado de tales interacciones se llama renormalización.

Para hacer cálculos de renormalización tienes que sumar series de términos y si esas series dan una respuesta finita se dice que la teoría es renormalizable. De lo contrario es no-renormalizable. Para la gravedad cuántica las series relevantes no dan una respuesta finita.

Para un libro sobre renormalización que sea relativamente fácil, consulta "Renormalization Methods: A Guide for Beginners" de W. D. McComb, que requiere conocer el tipo de matemáticas que necesitarías para un curso de mecánica cuántica: cálculo multivariable, expansión de funciones en series (series de Taylor, etc.), soluciones de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias, ecuaciones simultáneas, determinantes, autovalores y autovectores y transformadas de Fourier. Si estás dispuesto a hacer un esfuerzo mayor que eso, consulta "Quantum Field Theory for the Gifted Amateur" de Lancaster y Blundell o "Quantum Field Theory in a Nutshell" de Zee para una buena introducción a la teoría de campos cuánticos.

Answer 3

Tratando de ser muy conciso aquí:

• La mecánica cuántica aporta una incertidumbre mínima (fluctuaciones, borrosidad) a las cantidades.
• Según la relatividad general, la gravedad es un efecto de la masa curvando el espaciotiempo.
• Usar la mecánica cuántica o teorías de campo cuántico (como la QED, la teoría cuantizada del electromagnetismo) en cualquier geometría fija (euclidiana/plana como en el límite no relativista, pero también en una curvatura fija) es directo.
• Se vuelve problemático cuando masas con una posición incierta curvan el espaciotiempo: ¡esto significa que la curvatura del espaciotiempo es en sí incierta! Esto dificulta incluso trabajar en un sistema de coordenadas fijo, y da complejas retroacciones entre el espaciotiempo y las partículas masivas.

La renormalización es un asunto muy técnico para dar sentido a las infinitudes en todas las teorías de campo cuántico, pero lo anterior es la principal diferencia conceptual que distingue a la gravedad de las otras interacciones fundamentales (electromagnetismo y las interacciones fuerte y débil), que son descritas por campos fluctuantes en una geometría fija.

Answer 4

El problema surge al intentar cuantizar la gravedad de la misma manera que se cuantizan otros campos. La forma estándar de resolver una teoría cuántica de campos es comenzar desde un modelo fácil de resolver (lineal) donde la fuerza de interacción está ausente, y escribir las correcciones a esto como una serie de potencias en el parámetro que describe la fuerza de la interacción.

En el caso de la gravedad, este parámetro es la constante gravitacional $G$. Cuando tomamos en cuenta la relatividad y la mecánica cuántica, la velocidad de la luz y la constante de Planck aparecen de manera que el parámetro real es $\hbar G/c^3$, que tiene dimensiones de área y es denotado por $l_{\mathrm{P}}^2$ (el cuadrado de la longitud de Planck).

Entonces formalmente, una predicción (adimensional) para una medición en la gravedad cuántica será una serie de potencias $$b_0 + b_1 l_{\mathrm{P}}^2 + b_2 l_{\mathrm{P}}^4 + \cdots$$ donde los coeficientes $b_i$ requieren cálculos detallados.

Debido a que los campos cuánticos tienen fluctuaciones en todas las escalas de longitud, resulta que los $b_i$ dependen principalmente de la escala de longitud más pequeña presente en la teoría, llamémosla $a$. No sabemos cuál debería ser esta escala de longitud, solo sabemos que es más pequeña que cualquier cosa que nuestras experimentos hayan sondado hasta ahora.

Para ser consistentes dimensionalmente, los coeficientes deben escalar como $b_i \propto 1/a^{2i}$ (y los cálculos detallados confirman esto). Entonces para $i \ge 1$, los coeficientes crecen ("divergen hacia el infinito") cada vez más rápidamente a medida que $a$ se vuelve pequeño. Dado que no sabemos qué tan pequeño es $a$, y hay infinitos términos que son importantes para $a$ pequeño, es imposible obtener predicciones definitivas.

Para ciertas teorías de campos cuánticos otras, donde la serie tiene solo finitos términos que crecen a medida que $a$ se vuelve pequeño, es posible restringir la teoría ajustándola a observaciones y obtener predicciones no triviales sin saber exactamente cuán pequeño es $a$. A esto se le llama renormalizabilidad, y la falta de esta es parte de la dificultad de la gravedad cuántica.

Answer 5

Intentaré dar una simplificación excesiva para una respuesta parcial aquí. Más o menos considero esto como un comentario complementario a la respuesta de JF10356.

La renormalización se puede pensar como una herramienta de redimensionamiento muy sofisticada. Su objetivo es convertir infinidades inutilizables en cantidades útiles y poner todo en la misma escala. Es algo así como un truco matemático. Puedes hacer que el infinito desaparezca con él siempre y cuando sigas algunas reglas.

Esto permite que las teorías sean probadas y comparadas de manera equitativa.

Entonces, una teoría tendrá su propia matemática desarrollada en ella. La teoría se aplica a un modelo. Es la matemática en los modelos y las pruebas lo que se renormaliza.

Por lo tanto, cuando una teoría es "no renormalizable", significa que la teoría contiene términos incompatibles con este truco matemático.

Esto deja abiertos los modelos a que las cosas se rompan o los términos exploten.

Cuando la gente habla de un término "explotando" quieren decir que básicamente se convierte en un infinito inutilizable.