En una pizza circular, hacemos un corte recto al azar eligiendo dos puntos uniformemente al azar en el perímetro y cortando a través de ellos.
¿En promedio, cuántas veces se debe cortar la pizza al azar para obtener una pieza sin borde curvo?
(En otras palabras, en promedio, ¿cuántas cuerdas al azar se deben dibujar en un círculo para obtener un polígono, si cada cuerda al azar se dibuja conectando dos puntos uniformemente al azar en el perímetro del círculo?)
En el siguiente ejemplo, se obtiene una pieza sin borde curvo con el quinto corte al azar.
Mi intento
Hice un simulador de corte de pizza en desmos. Parece que el promedio debería ser alrededor de $7$ aproximadamente.
Intenté encontrar la probabilidad de que una pieza sin borde curvo se obtenga en el corte al azar $n$-ésimo. Pero solo calculé que la probabilidad para $n=3$, es $\frac{1}{15}$. (Considera los seis puntos que definen tres cortes. Comienza con un punto: debe estar emparejado con su punto opuesto, lo que tiene una probabilidad de $\frac{1}{5}$. Luego uno de los puntos restantes debe emparejarse con su punto opuesto, lo que tiene una probabilidad de $\frac{1}{3}$. Los dos puntos restantes deben emparejarse entre sí. Así que la probabilidad es $\frac{1}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$.)
