Pregunta de simplificación de aptitud

Question

Dado $$p+q+r=1\;\;\;\;\&\;\;\;p^2+q^2+r^2=2\;\;\;\;\&\;\;\;p^3+q^3+r^3=3$$

encuentra el valor de $$p^4+q^4+r^4$$

Answer 1

Más generalmente, tenemos que para todo $a,b,c\in\mathbb R$, $n\in\mathbb Z$, $n\ge 0$:

$$S_{n+3}=S_{n+2}S_1-S_{n+1}(ab+bc+ca)+S_{n}(abc),$$

donde $S_n=a^n+b^n+c^n$. Se puede demostrar simplemente expandiendo.

También nota que $ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}$.

Ahora aplica esto a tu problema. Sea $(a,b,c)=(p,q,r)$ y primero sea $n=0$ (para encontrar $pqr$) y luego $n=1$ (para encontrar $p^4+q^4+r^4$).

Answer 2

Al utilizar las identidades de Newton, finalmente deberías encontrar que $$s_4=\frac{s_1^4+8s_1 s_3-6s_2 s_1^2+3s_2^2}{6}$$ donde $s_i=p^k+q^k+r^k$. En tu caso $$p^4+q^4+r^4=s_4=\frac{1+24-12+12}{6}=\frac{25}{6}.$$