¿Cuál es una descripción de los ideales del anillo $F[x]/(x^n)$, donde $F$ es un campo?
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Andy
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Dean Hall
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Según el Teorema de Isomorfismo en Retículo, existe una correspondencia 1-1 entre ideales en $F[x]$ que contienen $(x^n)$ e ideales en $F[x] / (x^n)$. Por lo tanto, estás reducido a considerar ideales $I \subseteq F[x]$ que contienen $(x^n)$, es decir, $(x^n) \subseteq I.
Ahora bien, $F$ es un campo, por lo que $F[x]$ es un dominio euclidiano. En particular, es un DIP. Por lo tanto, $I = (p(x))$ para algún $p(x) \in F[x]$. Entonces $(x^n) \subseteq (p(x))$ si y solo si $p(x) \mid x^n$ si y solo si $p(x) = cx^d$ para algún entero d que satisface $0 \leq d \leq n$ y $c \in F^*$.
nguyen quang do
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Sea A el anillo cociente y t la imagen de x en A. Entonces A es isomorfo a F[t]. Dado que A/(t) es isomorfo a F, que es un campo, (t) es por supuesto un ideal maximal de A. Pero en realidad es el único, porque cualquier elemento fuera de (t) es invertible: hasta una constante multiplicativa no nula, cualquier elemento de este tipo se puede escribir como 1 + tz, que tiene un inverso porque t es nilpotente (piense en el inverso formal de 1 + tz). Entonces los ideales estrictos de A son los ideales principales (t^k), donde k está entre 1 y n.
PD. Después de escribir esto, ¡me doy cuenta de que es exactamente la respuesta de Geoff Robinson, bajo una forma ligeramente diferente!
Geoff Robinson
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Es posible proceder directamente determinando la estructura del anillo $R = F[x]/(x^{n})$. Tenga en cuenta que cuando $n=1$, el anillo cociente es simplemente $F$ en sí mismo. En general, por la propiedad euclidiana de los anillos de polinomios (sobre campos), cada elemento de $R$ tiene una expresión única en la forma $a_{0} + a_{1}y + \ldots + a_{n-1}y^{n-1}$, donde $y$ es el elemento $x + (x^{n})$ en $R$. El producto de tales elementos se describe fácilmente, determinado por la regla $y^{i}.y^{j}=0$ si $i+j \geq n$.
Un elemento $a_{0} + a_{1}y + \ldots + a_{n-1}y^{n-1}$ es una unidad de $R$ si y solo si $a_{0} \neq 0$ (Omito detalles, pero es consecuencia del algoritmo euclidiano para $F[x]$).
Así que todo ideal propio no nulo de $R$ está contenido en $(y)$. Sea $I$ un ideal de $R$ (propio y no nulo), y elija $i$ máximo tal que $I \subseteq (y^{i})$ pero $I \not \subseteq (y^{i+1})$. Entonces $I$ contiene un elemento de la forma $y^{i}(a_{0} + \ldots a_{n-1-i}y^{n-1-i})$ con $a_{0} \neq 0$. Dado que $(a_{0} + \ldots a_{n-1-i}y^{n-1-i})$ es una unidad de $R$, vemos que $(y^{i}) \subseteq I$, de modo que $I = (y^{i})
Por lo tanto, los ideales de $R$ son $0 \subset (y^{n-1}) \subset (y^{n-2}) \subset\ldots \subset (y^{2}) \subset (y) \subset R$, (y todas las inclusiones son estrictas).
