Conjetura: si la matriz $M$ tiene entradas (de izquierda a derecha, luego de arriba a abajo) $\sin 1, \sin 2, \sin 3, \dots, \sin(n^2)$, donde $n \geq 3$, entonces $\det M = 0$.

Question

Según mi calculadora,

$\det\begin{bmatrix}\sin 1 & \sin 2 & \sin 3 \\ \sin 4 & \sin 5 & \sin 6 \\ \sin 7 & \sin 8 & \sin 9\end{bmatrix}=0$

$\det\begin{bmatrix}\sin 1 & \sin 2 & \sin 3 & \sin 4 \\ \sin 5 & \sin 6 & \sin 7 & \sin 8 \\ \sin 9 & \sin 10 & \sin 11 & \sin 12 \\ \sin 13 & \sin 14 & \sin 15 & \sin 16 \end{bmatrix}=0$

$\det\begin{bmatrix}\sin 1 & \sin 2 & \sin 3 & \sin 4 & \sin 5 \\ \sin 6 & \sin 7 & \sin 8 & \sin 9 & \sin 10 \\ \sin 11 & \sin 12 & \sin 13 & \sin 14 & \sin 15 \\ \sin 16 & \sin 17 & \sin 18 & \sin 19 & \sin 20 \\ \sin 21 & \sin 22 & \sin 23 & \sin 24 & \sin 25\end{bmatrix}=0$

Conjeturo que, para $n\ge 3$,

$\det \begin{bmatrix} \sin 1 & \sin 2 & \sin 3 & \dots & \sin n \\ \sin (n+1) & \sin (n+2) & \sin (n+3) & \dots & \sin (2n) \\ \sin (2n+1) & \sin (2n+2) & \sin (2n+3) & \dots & \sin(3n) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \sin ((n-1)n+1) & \sin ((n-1)n+2) & \sin ((n-1)n+3) & \dots & \sin (n^2) \end{bmatrix}=0$

¿Es cierta mi conjetura?

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Solo he podido demostrar el caso con $n=3$.

$\sin 5 + \sin 7 + [\sin 1 + \sin (-1)] + [\sin 3 + \sin (-3)]$
$=\sin 5 + \sin 7 + [\sin 1 + \sin (-1)] + [\sin 3 + \sin (-3)]$

Reorganiza cada lado:

$[\sin (-3) + \sin 5] + [\sin 1 + \sin 3] + [\sin (-1) + \sin 7]$
$=[\sin (-1) + \sin 3] + [\sin (-3) + \sin 7] + [\sin 1 + \sin 5]$

Usa las fórmulas de suma de productos trigonométricos:

$(\sin 1)(\cos 4) + (\sin 2)(\cos 1) + (\sin 3)(\cos 4)$
$=(\sin 1)(\cos 2) + (\sin 2)(\cos 5) + (\sin 3)(\cos 2)$

Resta $(\sin 1)(\cos 14)+(\sin 2)(\cos 13)+(\sin 3)(\cos 12)$ de ambos lados:

$(\sin 1)(\cos 4 - \cos 14) + (\sin 2)(\cos 1 - \cos 13) + (\sin 3)(\cos 4 - \cos 12)$
$=(\sin 1)(\cos 2 - \cos 14) + (\sin 2)(\cos 5 - \cos 13) + (\sin 3)(\cos 2 - \cos 12)$

Utiliza las fórmulas de suma de productos trigonométricos nuevamente:

$(\sin 1)(\sin 5)(\sin 9)+(\sin 2)(\sin 6)(\sin 7)+(\sin 3)(\sin 4)(\sin 8)$ $=(\sin 1)(\sin 6)(\sin 8)+(\sin 2)(\sin 4)(\sin 9)+(\sin 3)(\sin 5)(\sin 7)$

lo cual es equivalente a

$\det\begin{bmatrix}\sin 1 & \sin 2 & \sin 3 \\ \sin 4 & \sin 5 & \sin 6 \\ \sin 7 & \sin 8 & \sin 9\end{bmatrix}=0$

Answer 1

Cada una de las funciones $\sin(x), \ldots, \sin(x+n)$ resuelve la EDO $y'' + y = 0$. Pero el espacio de soluciones de una EDO lineal (homogénea) de segundo orden es solo bidimensional, lo que te dice que estas funciones seno deben ser linealmente dependientes si tomas al menos $3$ de ellas. Es decir, existen $\lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathbb{C}$ no todos $0$ tales que $$\sum\limits_{j = 1}^n \lambda_j \sin(x+j) = 0$$ para todo $x$. Ahora sustituye $x = 0$, $x = n$ y así sucesivamente. Esto muestra que tus columnas son linealmente dependientes para $n \geq 3$ y por lo tanto el determinante debe ser $0$.

Answer 2

Al aplicar las fórmulas de suma a producto obtenemos que

$\sin\!\big(2n+i\big)+\sin i=2\sin\!\big(n+i\big)\cos n$

para cualquier $\,i\in\big\{1,2,\cdots,n\big\}\,.$

En consecuencia ,

$\sin\!\big(2n+i\big)=\color{red}{-1}\!\cdot\!\sin i+\color{red}{2\cos n}\!\cdot\!\sin\!\big(n+i\big)$

para cualquier $\,i\in\big\{1,2,\cdots,n\big\}\,.$

Significa que la tercera fila de la matriz $M$ es una combinación lineal de las dos primeras filas.

Por lo tanto, las filas de la matriz $M$ forman un conjunto linealmente dependiente, por lo tanto el determinante de $M$ es igual a $\,0\,.$

Answer 3

No se necesita ninguna computación. Las entradas de $M$ están dadas por \begin{eqnarray*} M(k,l) = \sin(1+nk+\ell) = \sin(1+nk)\cos\ell + \cos(1+nk)\sin\ell. \end{eqnarray*} Esta fórmula muestra que $M$ es la suma de dos matrices de rango $1$, por lo que el rango de $M$ es menor o igual a $2$. Por lo tanto, $M$ no es invertible si $n \ge 3$.

Answer 4

Pista

Utiliza la fórmula $\sin(a+2)= \sin a \cos 2 + \cos a \sin 2$ en la última columna, la fórmula $\sin(a+1) = \sin a \cos 1 + \cos a \sin 1$ en la penúltima columna y desarrolla el determinante. Obtendrás una combinación lineal de 4 determinantes, cada uno con dos columnas idénticas si $n \ge 3$. Por lo tanto, el determinante dado se anula.

Answer 5

Usando matrices complejas. En efecto, sea $N\in \mathbb C^{n\times n}$ tal que $N_{k,\ell} = e^{i(n(k-1)+\ell)}$ es claro que la columna $\ell$ de $N$ es $e^{i\ell}$ veces la primera columna. Así que $N$ es una matriz de rango $1$. Dado que $M={\mathrm{ Im}}(N)=(N-\overline{N})/2i$. Tenemos que $\mathrm{rank}(M) \le \mathrm{rank}(N) + \mathrm{rank}(\overline N)= 2$ por lo que $\det(M)=0$ si $n\ge 3$