Recientemente estoy estudiando Topología Algebraica elemental. He visto que un espacio topológico se identifica con un grupo. Llamamos al grupo Grupo Fundamental. Así que para cualquier espacio topológico $X$ y para cualquier $x \epsilon X$ hay un grupo fundamental $\pi_1 (X,x)$. Tengo una pregunta sobre la recíproca. Si consideramos cualquier grupo arbitrario $G$, ¿existe entonces un espacio topológico $X$ y un elemento $x\epsilon X$ tal que $\pi_1 (X,x)=G$?
Respuesta
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Esa afirmación es verdadera. Primero, cada grupo libre $F$ es el grupo fundamental de un ramillete de círculos con un punto base común; cada círculo representa un generador. Ahora, cada grupo $G$ es un cociente de un grupo libre $F$ por un subgrupo de $F$ generado por las "relaciones" $f_i\in F$.
Observa que cada $f_i$ es una palabra en $F$, es decir, un producto de los generadores y sus inversos de $F$. Luego "matamos" la relación $f_i$ adjuntando un disco $D^2$ a lo largo de los círculos en $f_i$.
Como un buen ejercicio práctico, trata de demostrar que el grupo fundamental del toro es $$\Bbb Z\times \Bbb Z\cong F(a,b)/\langle aba^{-1}b^{-1}\rangle.$$
