Para números naturales $a$ y $b$, muestra que $a \Bbb Z + b \Bbb Z = \gcd(a, b)\Bbb Z$

Question

Para números naturales $a$ y $b$, muestra que $a \Bbb Z + b \Bbb Z = \gcd(a, b)\Bbb Z $

Básicamente dije que el máximo común divisor de a y b {escrito como C} obviamente divide aZ y bZ, por lo tanto puede ser reescrito como

CdZ + CeZ -> C[dZ + eZ] -> CZ[d+e] donde Cd=a y Ce=b.

Si a, b y C son números naturales, entonces d y e también lo son. La suma de d y e es un entero, que al ser multiplicado por un entero, produce un entero. Por lo tanto,

CZ[d+e] = CZ, así que aZ + bZ = \gcd(a,b)Z

{Donde C es el $\gcd(a,b)$}

Answer 1

Sabes que $a\Bbb Z+b\Bbb Z=\{ax+by:x,y\in\Bbb Z\}$. Sea $d$ el mínimo entero positivo en este conjunto. Por el algoritmo de Euclides, podemos escribir $a=qd+r$ y $b=q'd+r'$, con $r=0$ o $0

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Dado cualquier ideal $(x_1,\ldots,x_n)$ en $\Bbb Z$, existe un elemento positivo mínimo en él, llámalo $d$. Dividiendo cada $x_i$ por $d$ se obtiene $x_i=q_id+r_i$. Dado que $r_i=0$ o $r_i

Answer 2

Primero que nada, ¿cómo defines $\gcd(a,b)$? Yo lo definiré mediante la conversa de una proposición en Álgebra Artin (Prop 2.3.5)

Es decir, demostraremos

Conversa de la Prop 2.3.5: Sean $a$ y $b$ enteros no ambos cero. Supongamos (a) $d$ divide a $a$ y $b$, (b) cualquier entero $e$ que divide a $a$ y $b$ también divide a $d$ y (c) existen enteros $r$ y $s$ tal que $d=ra+sb$. Entonces $\mathbb Z d=\mathbb Z a + \mathbb Z b$.

donde $d:=\gcd(a,b)$ está definido por el entero dado por las suposiciones de la conversa de la Prop 2.3.5 mencionada anteriormente.

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Dem:

($\supseteq$)

Sea $n \in \mathbb Za + \mathbb Zb$. Entonces existen enteros $n_a, n_b$ tales que $n=n_a a + n_b b$. Debemos mostrar que $n \in \mathbb Zd$, es decir, debemos encontrar un entero $n_d$ tal que $n=n_d d.

Por $(a)$, existen enteros $d_a, d_b$ tales que $d_a d = a, d_b d = b$. Así, $$n=n_a a + n_b b = n=n_a d_a d + n_b d_b d.$$

Entonces, $n_d = n_a d_a + n_b d_b$.

($\subseteq$)

Sea $n \in \mathbb Zd$. Entonces hay un entero $n_d$ tal que $n=n_d d$. Debemos mostrar que $n \in \mathbb Za + \mathbb Zb$, es decir, debemos encontrar enteros $n_a, n_b$ tales que $n=n_a a + n_b b$.

Por $(c)$, existen enteros $d_1, d_2$ tales que $d=d_1 a + d_2 b. Así, $$n=n_d d = d_1 a n_d + d_2 b n_d$$

Entonces, $n_a = d_1 n_d, n_b = d_2 n_d$.

QED

Nota: Observa que $(c)$ es la identidad de Bézout.