Pregunta sobre pasos específicos de la demostración del lema de Fatou.

Question

Tengo una pregunta con respecto a los siguientes dos pasos de la demostración.

1. ¿Cómo podemos obtener $\int g_n \leq \int f_n$, o $g_n \leq f_n$ para todo n, si por la definición de liminf, $g_n \leq f_m $ para todo $m \geq n$? ¿Dónde está el $m$?

2. ¿Por qué $\int f_n$ de repente se convierte en $\liminf\int f_n$?

Answer 1

Para tu primera pregunta, dado que $g_n \leq f_m$ para todo $m \geq n$, entonces, si $m = n\implies m=n \geq n$, por lo tanto $g_n \leq f_n$.

En cuanto a la segunda pregunta, lo que ocurrió fue que él pasó el liminf en la desigualdad: $$\int g_nd\mu \leq \int f_n d\mu \implies lim\inf_n \int g_nd\mu \leq lim\inf_n\int f_n d\mu $$ Ahora, dado que $g_n$ es creciente, entonces $$lim\inf_n \int g_nd\mu =lim_n \int g_nd\mu $$ Por lo tanto, se obtiene que $$lim_n \int g_nd\mu \leq lim\inf_n\int f_n d\mu $$

Answer 2

Simplemente escribe el conjunto $\{f_i : n \leq i < \infty\}$ explícitamente, es decir, $\{f_n,f_{n+1},...\} \forall n\geq 1$.

Luego tomas el ínfimo de este conjunto, es decir $g_n$

Por lo tanto, es obvio que $g_n\leq f_n\ \forall n\geq 1$, luego se integra de ambos lados y obtenemos $$ \int g_n d\mu\leq \int f_n d\mu.............(*) $$

Ahora nos concentramos en $g_n$.

$g_n \leq g_{n+1}$ y $\lim g_n = \liminf\{f_i : n\leq i < \infty\}= \liminf f_n = f$, esto es debido a la definición de límite inferior de una secuencia.

Luego se aplica el Teorema de Convergencia Monótona en ${g_n}$. Obtenemos $$\lim \int g_n d\mu = \int f d\mu \\ \Rightarrow \liminf\int g_n d\mu = \int f d\mu $$ ya que $\lim \int g_n$ existe y $\lim \int g_n = \liminf\int g_n d\mu$.

ahora se toma el $\liminf$ de ambos lados de (*) y se obtiene el resultado deseado.