Versión generalizada del Tercer Lema de le Cam

Question

Estoy confundido con la versión generalizada del Tercer lema de Le Cam presentado en el Teorema 6.6 de las Estadísticas asintóticas de van der Vaart

aquí: https://books.google.co.uk/books?id=Ocg2AAAAQBAJ&pg=PT188&lpg=PT188&dq=van+der+vaart+theorem+6.6&source=bl&ots=Rm4Rw_KJ8H&sig=iXbKRK_HhSX1qQhKjhlGOcLC7Nc&hl=it&sa=X&ved=0ahUKEwjr1uCo2d7JAhUEJR4KHcx7CpoQ6AEIOTAE#v=onepage&q=van%20der%20vaart%20theorem%206.6&f=false

¿Qué significa decir que $L(B):=E(1_B(X)V)$ define una medida de probabilidad? ¿Y cómo ayuda el teorema de convergencia monótona a demostrarlo?

Answer 1

Decir que $L(B):=E\left(1_B(X)V\right)$ define una medida de probabilidad significa que $L(\emptyset)=0$ y que si $\left(B_n\right)_{n\geqslant 1}$ es una secuencia de conjuntos medibles mutuamente disjuntos, entonces $$\tag{*}L\left(\bigcup_{n\geqslant 1}B_n\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}L\left(B_n\right).$$ Cuando la familia considerada es finita, esto se sigue de la linealidad de la esperanza. Para el caso general, definir $f_n:=\sum_{j=1}^n\mathbf 1_{B_j}(X)\cdot V$; de esta manera, $(f_n)_{n\geqslant 1}$ es una secuencia no decreciente y (*) se sigue del teorema de convergencia monótona.