Convergencia en Probabilidad con respecto a la esperanza y la varianza

Question

Aquí, $({X_n})_{n\geq1}$ es una secuencia de variables aleatorias.

Resultado: $$ {X_n} \rightarrow X $$ si $E(X_n) \rightarrow E(X)$ y $ Var(X_n)\rightarrow Var(X)$ cuando $ n\rightarrow \infty $.

Toma cualquier $ \varepsilon > 0.$

$$ \implies P[ | X_n-X| > \varepsilon ] \\ \\ \implies P [ | X_n -X|^2> \varepsilon^2 ] \leq \frac{E(X_n-X)^2}{\varepsilon^2} \\ \\ = \frac{[E(X_n)-E(X)]^2+ E[(X_n-E(X_n)]^2-E[(X-E(X)]^2}{\varepsilon^2 }.

No logro entender el último paso.

Intenté de muchas maneras pero no pude llegar a la ecuación anterior.

Answer 1

Primero, tenga en cuenta que para cualquier v.a. $X,Y\in L_2$, $$ \mathsf{E}[X-Y]^2=(\mathsf{E}[X-Y])^2+\operatorname{Var}(X-Y). $$ Entonces, la igualdad en la que está interesado es incorrecta en general porque $$ \operatorname{Var}(X-Y)\ne \operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(Y) $$ a menos que $\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Cov}(X,Y)$. Tome, por ejemplo, $X\sim N(0,1)$ y $Y=2X$. Luego $$ 1=\operatorname{Var}(X-Y)\ne \operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(Y)=-3. $$

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Dado que $$ \mathsf{E}[X-X_n]^2=(\mathsf{E}[X_n-X])^2+\operatorname{Var}(X_n)+\operatorname{Var}(X)-2\operatorname{Cov}(X_n,X), $$ la convergencia en probabilidad ocurre si, además, $\operatorname{Cov}(X_n,X)\to \operatorname{Var}(X)$.

Answer 2

Yo interpreto la pregunta de la siguiente manera:

$EX_n \to EX$ y $var (X_n) \to var (X)$ implica $X_n \to X$ en probabilidad.

Si esto es lo que estás afirmando, entonces es falso. Deja que $X$ tenga una distribución normal estándar y toma $X_n=-X$ para todos los $n$ para obtener un contraejemplo.

Answer 3

Básicamente reescribe el lado derecho de la desigualdad de Markov usando los términos de varianza para mostrar que si tienes convergencia en $E(\cdot)$ y en $Var(\cdot)$, entonces todo el lado derecho de la desigualdad de Markov converge a $0$ para cualquier elección de $\epsilon>0$. En particular, utiliza la expansión artificial (solo sumando y restando $E(X_n)$):

$\ E[(X_n - X)^2]=E[((X_n - E(X_n))+(E(X_n)-X))^2]$,

Luego, al expandirlo, se obtiene la igualdad deseada.

Para usar la convergencia en varianza y en cuadrado medio, debes usar los siguientes hechos,

$E(X_n -E(X_n))^2=Var(X_n)$

$E(X -E(X))^2=Var(X)$

Luego utiliza

$E(E(X))=E(X)$

Finalmente, si dejas que $n\rightarrow \infty \,,$ entonces tendrás convergencia para cualquier elección de $\epsilon$.