Algunas teorías son totalmente categóricas.
¿Existen algunas hipótesis que impliquen la total categoricidad de una teoría?
Algunas teorías son totalmente categóricas.
¿Existen algunas hipótesis que impliquen la total categoricidad de una teoría?
En los comentarios, dav11 sugiere $\aleph_0$-categórico + $\aleph_1$ categórico, según el teorema de Morley. Utilizando la caracterización de Baldwin-Lachlan de teorías uncountably categóricas, totalmente categórico también es equivalente a $\aleph_0$-categórico + $\omega$-estable + sin pares de Vaught.
Para una condición suficiente que englobe el caso de espacios vectoriales de dimensión infinita sobre un campo finito, es posible que te guste fuertemente minimal + localmente finito.
Fuertemente minimal significa que para cualquier modelo $M$, cualquier subconjunto definible de $M$ es finito o cofinito.
Localmente finito significa que $\mathrm{acl}(A)$ es finito cuando $A$ es finito.
¿Por qué es esto suficiente? Si $T$ es fuertemente minimal, entonces ya es $\aleph_1$-categórico. Y en una teoría fuertemente minimal, hay un único tipo no algebraico sobre cualquier conjunto. Por lo tanto, si $\mathrm{acl}(A)$ es finito, entonces solo hay un número finito de $1$-tipos sobre $A$ (los tipos de los elementos de $\mathrm{acl}(A)$ junto con el tipo no algebraico único). Por lo tanto, hay un número finito de $1$-tipos sobre cada conjunto finito, lo cual es equivalente a la $\aleph_0$-categoricidad.
Una teoría contable es uncountably categórica si y solo si es $\omega$-estable y no tiene pares de Vaught, y es $\aleph_0$-categórica si y solo si $S_n(\emptyset)$ es finito para cada $n$.
No recuerdo ninguna descripción alternativa de no tener pares de Vaught, pero creo que las teorías $\omega$-estables y $\omega$-categóricas pueden ser descritas alternativamente como aquellas para las cuales $S_1(A)$ es finito o contable cuando $A$ es finito o contable (respectivamente).
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