¿Por qué la propiedad asociativa es tan especial para los matemáticos?

Question

Hace algunos años encontré un artículo sobre física cuántica en Quanta Magazine. Describía el trabajo de Cohl Furey tratando de desentrañar los secretos del universo usando octoniones. El artículo explica:

De manera mucho más extraña, los octoniones son no asociativos, lo que significa que $(a \times b) \times c$ no es igual a $a \times (b \times c)$. “Las cosas no asociativas son muy mal vistas por los matemáticos,” dijo John Baez, un físico matemático en la Universidad de California, Riverside, y un experto destacado en los octoniones. “Porque aunque es muy fácil imaginar situaciones no conmutativas —ponerse primero los zapatos y luego los calcetines es diferente a hacerlo al revés— es muy difícil pensar en una situación no asociativa." Si, en lugar de ponerse primero los calcetines y luego los zapatos, primero metes los calcetines en los zapatos, técnicamente aún deberías poder ponerte los dos y obtener el mismo resultado. “Los paréntesis se sienten artificiales."

En aquel momento, no le di mucha importancia. Esta era una revista popular, así que no es raro que los escritores agreguen cosas así en el artículo para darle más sabor. Pero a medida que he estado explorando, esta cita ha empezado a cobrar más importancia. Me doy cuenta de que grupos y monoides tienen mucho más contenido en torno a ellos que los cuasigrupos y los loops. De hecho, me cuesta encontrar mucha información sobre cuasigrupos. Encuentro estructuras no asociativas incrustadas en estructuras asociativas de orden superior para estudiar. Incluso cuando nos adentramos en los límites del universo matemático, con herramientas fundamentales como la teoría de categorías, descubrimos que la asociatividad de los morfismos está integrada en las capas más profundas.

¿Qué es lo que hace que la propiedad asociativa sea tan importante para los matemáticos? ¿Es solo un artefacto de cómo evolucionó las matemáticas? ¿Es solo una ilusión curiosa mía, nacida de mi viaje particular a través de las matemáticas? ¿O hay algo más fundamental sobre esta propiedad que sobre otras propiedades que aprendemos?

Answer 1

Las operaciones asociativas son importantes porque son precisamente aquellas operaciones que vinculan objetos entre sí en una secuencia. Dado que pensamos en los eventos en el tiempo como vinculados en una secuencia (primero sucede $E_1$ y luego $E_2$ y luego $E_3$, etc.), es natural que las matemáticas que describen cómo se enlazan las secuencias sean tan fundamentales. A veces esto se manifiesta de formas inesperadas. Por ejemplo, dado que la escritura ocurre como una secuencia de acciones en el tiempo (por ejemplo, escribir "t" y luego "h" y luego "e" para deletrear "the"), la operación que enlaza las letras juntas (concatenación) es asociativa. Como otro ejemplo, la composición de transformaciones de simetría forma un grupo, es asociativa y por lo tanto encadena una secuencia (por ejemplo, "voltear el cuadrado horizontalmente" y luego "rotar el cuadrado 90 grados" y luego "voltear el cuadrado verticalmente").

¿Cómo sabemos que las operaciones asociativas son operaciones que vinculan objetos en una secuencia? Porque fue demostrado. Existe un teorema en semigrupos llamado teorema de Cayley para semigrupos. Desafortunadamente, el teorema de Cayley para semigrupos generalmente se demuestra y se enuncia en términos bastante abstractos. Aquí hay un video de YouTube que hice que describe las intuiciones detrás del teorema de Cayley en términos accesibles.