¿Cuántas matrices enteras tienen un radio espectral limitado por una constante?

Question

¿Cuántas matrices enteras con el radio espectral limitado por una constante fija hay? Sin ninguna restricción, la respuesta es infinitas. De hecho, $nJ_0$, donde $J_0$ es la celda de Jordan con el valor propio $0$ y $n$ es cualquier entero, tienen todas radio espectral $0$. Por otro lado, para matrices simétricas el radio espectral es igual a la norma espectral así que solo hay finitas matrices enteras simétricas con radio espectral limitado.

¿Qué pasa con otras condiciones que descartan las celdas de Jordan y otros nilpotentes? Por ejemplo, matrices con entradas estrictamente positivas, matrices invertibles o diagonalizables. Sospecho que hay infinitas invertibles o diagonalizables, pero no puedo pensar en ninguna construcción general.

La motivación viene de intentar generar constructivamente grandes colecciones de matrices enteras invertibles "aleatorias" cuyo radio espectral permanezca entre $1$ y $2$ (no puede ser menor que $1$), para que sus potencias no exploten demasiado rápido. Esto surge en la encriptación.

EDITAR: Para las matrices enteras con entradas estrictamente positivas esto está respondido en ¿Implica valor propio de Perron-Frobenius pequeño entradas pequeñas para matrices integrales? en MathOverflow Hay unas finitas porque la suma de todas las entradas está limitada por el cuadrado del radio espectral.

Answer 1

La mera invertibilidad y diagonalización no funcionan, como lo muestra el contraejemplo $\pmatrix{1&k\\ 0&2}$ para un $k$ arbitrario. En general, para una matriz reducible de la forma $B=\pmatrix{B_1&B_2\\ 0&B_4}$ donde $B_1$ y $B_4$ son submatrices cuadradas, el valor de $B_2$ no afectará a $\rho(B)$. La forma más obvia de limitar las opciones de $B_2$ es establecerlo en cero. Es decir, considerar matrices que sean similares por permutaciones de filas y columnas a una forma de bloque diagonal $$ B=B_1\oplus B_2\oplus\cdots\oplus B_m\oplus0,\tag{1} $$ donde cada subbloque diagonal $B_i$ es una matriz cuadrada irreducible no negativa. Matrices simétricas y matrices positivas pueden transformarse en la forma anterior mediante permutaciones. Por lo tanto, estamos considerando un caso más general aquí. El argumento en una respuesta a la pregunta enlazada puede modificarse para tratar este caso. Primero, supongamos que $B$ es una matriz irreducible no negativa de enteros de $n\times n$ para algún $n\ge2$. Entonces $A=(I+B)^{n-1}$ es positiva. La respuesta enlazada ha mostrado que $\sum_{i,j}a_{ij}\le\rho(A)$. Por lo tanto, \begin{align} (1+\rho(B))^{n-1} &=\left(\rho(I+B)\right)^{n-1} =\rho\left((I+B)^{n-1}\right) =\rho(A)\\ &\ge\sum_{i,j}a_{ij} =\sum_{i,j}\left((I+B)^{n-1}\right)_{ij}\\ &=\sum_{i,j}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}B^k\right)_{ij}\tag{2}\\ &\ge\sum_{i,j}\left(I+(n-1)B\right)_{\,ij}\\ &=n+(n-1)\sum_{i,j}b_{ij}. \end{align} Es decir, $$ \sum_{i,j}b_{ij}\le\frac{(1+\rho(B))^{n-1}-n}{n-1}. $$ Se sigue que si $B$ es una matriz de enteros no negativos que es similar mediante permutaciones de filas y columnas a la forma de $(1)$, entonces solo hay un número finito de elecciones para $B$.

Desafortunadamente, el límite superior anterior es poco práctico si desea generar las matrices deseadas utilizando el método de rechazo, porque el límite, derivado al omitir muchos términos de orden superior en la expansión binomial en la línea $(2)$, es muy flojo.