Mostrar que existe una constante $c$ tal que $\left|\int_0^b\frac{\sin ax}{x}dx\right|\le c$

Question

Mostrar que existe una constante $c$ tal que $$\left|\int_0^b\frac{\sin ax}{x}dx\right|\le c$$ De hecho, muestra que el número más pequeño es $c=\int_0^\pi\frac{\sin x}xdx$.

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Bueno, estoy pensando en un cambio de variable $y=ax$, y queremos mostrar que $\left|\int_0^B\frac{\sin x}xdx\right|$ está acotado. Luego considera los intervalos $[n\pi,(n+1)\pi)$ para n número natural. Gracias.

Answer 1

Tienes la idea correcta con el cambio de variable. Ahora muestra que $x\mapsto \int_0^x\frac{sin y}{y}dy$ está acotado, utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo para diferenciarlo.

Answer 2

Empezar con un caso especial: a = 1, b > $\pi$. Vamos a generalizar.

$\int_0^b \frac{sinx}{x}dx = \int_0^{\pi} \frac{sinx}{x}dx + \int_{\pi}^b \frac{sinx}{x}dx$.

Para la segunda integral, realizar integración por partes con u(x) = sinx, u'(x) = cosx, v'(x) = 1/x, v(x) = logx, resultando en

sin(b)log(b) - $\int_{\pi}^b cos(x)log(x)dx$ lo cual nos da

$\int_0^b \frac{sinx}{x}dx = \int_0^{\pi} \frac{sinx}{x}dx + sin(b)log(b) - \int_{\pi}^b cos(x)log(x)dx$

|$\int_{\pi}^b cos(x)log(x)dx| \ge log(\pi) | \int_{\pi}^b cos(x)dx | =log(\pi) sin(b)$

$\int_0^b \frac{sinx}{x}dx \le \int_0^{\pi} \frac{sinx}{x}dx + |sin(b)[log(b) - log(\pi)]|$

Dado que para algunos valores de b sinb = 0, la constante más pequeña sería $\int_0^{\pi} \frac{sinx}{x}dx.

Si b = $\pi$ no hay nada qué hacer. En el caso de que b < $\pi$ escribir

$\int_0^b \frac{sinx}{x}dx = \int_0^{\pi} \frac{sinx}{x}dx - \int_b^{\pi}\frac{sinx}{x}dx$ y proceder de manera similar.

Para el caso de sin(ax) hacer la sustitución y = ax y todo debería resolverse desde ahí.