Resolver la ecuación integral convirtiéndola en ecuación diferencial.

Question

Uno tiene la siguiente ecuación integral:

$$y(x)=\frac{1}{1+x^2}+\int_{0}^{x}\sin(x-t)y(t)dt$$

¿Cómo puedo resolver esta ecuación integral convirtiéndola en una ecuación diferencial?

Answer 1

Sea $g(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$. Entonces, tenemos

$$y(x)=g(x)+\int_0^x \sin(x-t)y(t)dt \tag 1$$

Al diferenciar ambos lados de $(1)$ obtenemos

$$y'(x)=g'(x)+\int_0^x \cos(x-t)y(t)dt \tag 2$$

Al diferenciar ambos lados de $(2)$ se revela

$$\begin{align} y''(x)&=g''(x)+y(x)-\int_0^x \sin(x-t)y(t)dt \tag 3\\\\ &=g''(x)+g(x) \tag 4 \end{align}$$

donde usamos $(1)$ y $(3)$ para llegar a $(4)$. Por lo tanto, al integrar ambos lados de $(4)$ encontramos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{y(x)=\frac{1}{1+x^2}+x\arctan(x)-\frac12 \log(x^2+1)} \tag 5$$

donde utilizamos $y(0)=1$ y $y'(0)=0$ como se proporciona en $(1)$ y $(2)$ para obtener $(5)$.

Answer 2

Si asignamos la segunda parte en el lado derecho como $I$ podemos aplicar rápidamente Diferenciación de integral para llegar a $I^{''} = -I$

observando que $I = y(x) - \frac{1}{1+x^2}$ podemos reducir la ecuación diferencial final a $y^{''} + y - \frac{1}{1+x^2} - \frac{d^2(1/(1+x^2))}{dx^2} = 0$

ahora sustituimos $z = y - \frac{1}{1+x^2}$. Por lo tanto, $z^{''} + z = 0