Parece que he malentendido algo fundamental sobre las álgebras de $\sigma$-colas, ya que no puedo resolver el siguiente problema:
Dada una serie de variables aleatorias reales $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$. Entonces,
$X^*=\displaystyle \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ está en la álgebra de $\sigma$-colas $\mathcal{T}((X_n)_{n\in\mathbb{N}})$
Puedo demostrar esto usando los siguientes argumentos:
Primer paso: $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ es medible con respecto a $\sigma(X_1,...,X_n)$, ya que $X_i$ es medible con respecto a $\sigma(X_i)$ para todo $i=1,...,n$ y debido a que la suma de funciones medibles (y multiplicar por una constante) es nuevamente medible, particularmente medible en la menor $\sigma$-álgebra generada por $X_1,...,X_n$, siendo $\sigma(X_1,...,X_n)$.
Segundo paso: Se sigue que $\displaystyle \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ es medible con respecto a $\sigma((X_n)_{n\in\mathbb{N}})$, porque el límite es medible para funciones medibles.
Tercer paso: Dado que $\displaystyle \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i= \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=k}^n X_i$, se deduce que $X^*$ es medible con respecto a $\sigma(X_n,\ n\ge k)$ para cada $k\in\mathbb{N}$, lo que significa que $X^*$ es medible con respecto a $\mathcal{T}((X_n)_{n\in\mathbb{N}})$
¿Hasta aquí todo correcto, verdad?
Ahora veamos $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$ para variables aleatorias i.i.d $X_i$. ¿Es $\limsup_{n\rightarrow\infty}S_n$ medible respecto a $\mathcal{T}((S_n)_{n\in\mathbb{N}})$?
Aquí viene mi falacia: simplemente argumentaría que, dado que $\sigma((X_n)_{n\in\mathbb{N}})=\sigma(X_1)$, porque $X_i$ son i.i.d, y nuevamente por el argumento de que la suma y el límite de funciones medibles son nuevamente medibles, tenemos inmediatamente que $\limsup_{n\rightarrow\infty}S_n$ es medible con respecto a $\mathcal{T}((S_n)_{n\in\mathbb{N}})$.
Sin embargo, alguien me dijo que esto no es correcto. ¿Dónde está mi error?
