Permutaciones y combinaciones de discos y espacios en blanco distintos

Question

Pregunta: 15CDs, 12 tienen DATOS, 3 tienen espacios en blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que el disco 13 revisado sea el décimo con datos, dado que los discos son distintos?

Por lo tanto, el total es 15!/3! porque hay 15 discos que pueden ser ordenados, pero como los 12 discos de datos son distintos, solo necesitamos tener en cuenta los 3 espacios en blanco, por lo tanto dividiendo por 3!

Entonces, ¿cómo encontramos que el disco 13 sea el décimo con datos eso significa que 3 espacios en blanco tienen que estar antes de los 10 discos?

¿Es solo 13!/3!10!

Answer 1

Método 1: Para que el $13$º disco seleccionado sea el décimo disco con datos, nueve de los doce discos con datos y los tres discos en blanco deben ser seleccionados entre los primeros $12$ discos seleccionados, luego un disco con datos debe ser seleccionado con la $13$ª selección. Dado que solo quedan discos con datos si tres discos en blanco son seleccionados entre los primeros $12$ discos, la probabilidad de que el $13$º disco tenga datos es $1$ si ya se han seleccionado tres discos en blanco. Hay
$$\binom{12}{9}\binom{3}{3}$$ formas de seleccionar nueve discos con datos y tres discos en blanco. Hay $$\binom{15}{12}$$ formas de seleccionar doce de los quince discos. Por lo tanto, la probabilidad de que el $13$º disco seleccionado sea el décimo disco con datos es $$\frac{\dbinom{12}{9}\dbinom{3}{3}}{\dbinom{15}{12}}$$

Método 2: Si organizamos todos los $15$ discos en orden, hay $$\binom{15}{3}$$ formas de elegir las posiciones de los discos en blanco. Para que el $13$º disco sea el décimo disco con datos, los tres discos en blanco deben ocurrir en las primeras $12$ posiciones, lo cual puede ocurrir en $$\binom{12}{3}$$ formas. Por lo tanto, la probabilidad deseada es $$\frac{\dbinom{12}{3}}{\dbinom{15}{3}}$$