Determinar la superficie con los bordes polinómicos dados

Question

Supongamos que queremos adivinar la forma (no estoy seguro de que la palabra 'aproximada' sea apropiada aquí) de alguna superficie cuando se nos dan sus bordes a través de polinomios de tercer orden (es decir, se nos dan sus coeficientes). Para simplificar un poco las cosas, supongamos que consideramos solo un rectángulo $[a,b]\times[c,d]$ - por lo tanto, si $f(x,y)$ es una función que representa la superficie buscada, tenemos polinomios $f_1(x), \ f_2(x), \ f_3(y), \ f_4(y)$ de grado $3$ tales que $f(x,c) = f_1(x), \ f(x,d) = f_2(x), \ f(a,y) = f_3(y), \ f(b,y) = f_4(y).

Ahora, nos gustaría tener una fórmula agradable y fácilmente calculable para $f$ que cumpla con los criterios y sea de alguna manera suave.

Pensé que buscar $f$ en la forma de polinomio bivariado $$\sum_{0 \le i, j \le 3} \alpha_{i,j}x^iy^j$$ sería una buena idea. Desafortunadamente, al realizar algunas pruebas, resulta que a menudo no se puede hacer: el sistema de ecuaciones lineales que surge de las restricciones no tiene una solución.

Y mi pregunta es - ¿cuál sería otra forma 'amigable para los humanos' en la que $f$ siempre será expresable?

Answer 1

Una superficie que interpola sus curvas de frontera se llama un parche de Coons. La página de Wikipedia tiene una buena descripción. Hay muchas variantes diferentes, pero la más simple es la que utiliza la mezcla bilineal, como se describe en la primera sección de la página de Wikipedia. La discusión asume $a=c=0$ y $b=d=1$, pero puedes volver a escalar fácilmente, si es necesario.

Debemos asumir algunas condiciones de compatibilidad, de lo contrario el problema de interpolación no tiene solución. Específicamente, necesitamos asumir que $f_1(a)=f_3(c)$, $f_1(b)=f_4(c)$, $f_2(a)=f_3(d)$, $f_2(b)=f_4(d)

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Luego, simplemente construye el interpolante de tres términos como se describe en la página de Wikipedia. La función resultante es infinitamente diferenciable e interpola las cuatro curvas de frontera.

Un consejo: los problemas como este suelen ser mucho más fáciles si expresas la geometría en forma de Bezier-Bernstein, en lugar de usar la base polinómica (Taylor, potencia). Si escribes tus cuatro curvas de frontera en forma de Bezier, entonces sus puntos de control te dan 12 de los 16 puntos de control necesarios para construir un parche Bezier bicúbico. Los otros cuatro puntos de control en el interior del parche Bezier realmente se pueden elegir arbitrariamente, y aún obtendrás una superficie que interpola las curvas de frontera.

La técnica que mencionaste debería haber funcionado. Tal vez no asumiste las condiciones de compatibilidad que mencioné. O, tal vez las cosas salieron mal porque el problema tiene en realidad un número infinito de soluciones, como mencioné en mis comentarios sobre el enfoque del parche Bezier.