¿A qué corresponde un morfismo en la categoría $\mathsf{C}_{\alpha, \beta}$?

Question

Comience con una categoría dada $\mathsf{C}$ y fije dos morfismos $\alpha: A \to C$ y $\beta: B \to C$. Considere la categoría $\mathsf{C}_{\alpha, \beta}$ de la siguiente manera:

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¿Corresponde un morfismo en esta categoría a:

$1.$ un morfismo $\sigma: Z_1 \to Z_2$ tal que $f_1=f_2\sigma$ y $g_1=g_2\sigma$?

$2.$ un morfismo $\sigma: Z_1 \to Z_2$ tal que $\alpha f_1=\alpha f_2\sigma$ y $\beta g_1=\beta g_2 \sigma$?

$3.$ un morfismo $\sigma: Z_1 \to Z_2$ tal que $\alpha f_1=\beta g_2\sigma$ y $\beta g_1=\alpha f_2 \sigma$?

Parece que si (1.) es verdadero, entonces los otros también son verdaderos.

Answer 1

Para que el diagrama sea conmutativo, todos sus subdiagramas deben conmutar. Esto significa, en particular, que las ecuaciones en la condición (1) deben cumplirse. Como sugieres, (2) y (3) se siguen de (1).

Entonces, un morfismo $\sigma : (f_1,g_1) \to (f_2,g_2)$ en $\mathsf{C}_{\alpha,\beta}$ es un morfismo $\sigma : Z_1 \to Z_2$ en $\mathsf{C}$ tal que $f_2 \circ \sigma = f_1$ y $g_2 \circ \sigma = g_1$.

Answer 2

Un morfismo en $\mathcal{C}_{\alpha,\beta}$ entre los objetos $(Z_1,f_1,g_1)$ y $(Z_2,f_2,g_2)$ es un morfismo en $\mathcal{C}$ entre $Z_1$ y $Z_2$ tal que el diagrama que mostraste es conmutativo.

Sí, es cierto que si se cumple $(1)$, entonces también se cumplen $(2)$ y $(3)$. Sin embargo, en general, no es cierto que $(2)$ o $(3)$ impliquen $(1)$ (es decir, puedes cumplir $(2)$ o $(3)$ y no $(1)$), por lo que las condiciones no son equivalentes.

Además, puedes mostrar fácilmente que el diagrama es equivalente a $(1)$: solo mirando la parte izquierda del diagrama, fácilmente ves que implica $(1)$. Pero de hecho, son equivalentes porque el resto del diagrama simplemente se deduce de $Z_2$ siendo un objeto.

Entonces $(1)$ es la única respuesta correcta, ya que las otras son demasiado débiles (es decir, se cumplen más a menudo de lo que lo hace el diagrama).

Espero que esto ayude.