Forma cerrada de una serie infinita de integrales $\int_{0}^{\eta} \cos nt \cos t \sqrt{\cos^2 t - \cos^2 \eta}$

Question

Sea $$ I(n,\eta) = \int_{0}^{\eta} \cos nt \, \cos t \, \sqrt{\cos^2 t - \cos^2 \eta}\; dt $$

donde se sabe que $0 < \eta \leq \frac \pi 2$.

¿Es posible evaluar $S$, la suma infinita de integrales (con índices pares) de la forma $I(2k,\eta)$, en forma cerrada?

$$ S(\eta) = \sum_{k=0}^{\infty} \; \frac{2k}{(2k)^2-1} \int_{0}^{\eta} \cos 2kt \, \cos t \, \sqrt{\cos^2 t - \cos^2 \eta} \; dt $$

Esta integral contiene términos similares a los de esta pregunta y surge en un contexto similar.

Answer 1

Esto no es una solución completa, pero es un comienzo.

Solo necesitas usar la misma idea que en la respuesta a la pregunta que enlazaste.

La suma tiene una forma cerrada (ver aquí) y puede moverse debajo de la integral:

$$ S_0 = \sum_{k=0}^{\infty} \; \frac{2k}{(2k)^2-1} \cos 2kt=\frac{1}{4} \cos t \log \frac{1+\cos t}{1-\cos t} -\frac{1}{2} $$

$$ S(\eta) = \frac{1}{4} \int_{0}^{\eta} \cos^2 t \log \frac{1+\cos t}{1-\cos t} \, \sqrt{\cos^2 t - \cos^2 \eta} \; dt -\frac{1}{2} \int_{0}^{\eta} \cos t \, \sqrt{\cos^2 t - \cos^2 \eta} \; dt $$

La segunda integral es:

$$\int_{0}^{\eta} \cos t \, \sqrt{\cos^2 t - \cos^2 \eta} \; dt=\int_{0}^{\sin \eta}\sqrt{\sin^2 \eta - \sin^2 t} \; d \sin t=\frac{\pi \sin^2 \eta}{4}$$

La primera integral es complicada, aún no estoy seguro de cómo abordarla. Cuando tenga una idea, actualizaré la respuesta.

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Edit

Una pequeña adición: Transformemos el logaritmo de la siguiente manera:

$$\log \frac{1+\cos t}{1-\cos t}=\log \frac{(1+\cos t)^2}{1-\cos^2 t}=2\log \frac{1+\cos t}{\sin t}$$

Y tratemos de resolver la integral relacionada:

$$I_0=\int_{0}^{\eta} \cos^2 t \log \sin t \, \sqrt{\cos^2 t - \cos^2 \eta} \; dt=\int_{0}^{\sin \eta} \cos t \log \sin t \, \sqrt{\sin^2 \eta - \sin^2 t} \; d \sin t$$

Hagamos un cambio de variable:

$$\frac{\sin t}{\sin \eta}=z,~~~~,\sin \eta = p$$

$$I_0=p^2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-z^2} \sqrt{1-p^2z^2} (\log p +\log z) dz$$

La primera parte de esta integral tiene una forma cerrada en términos de integrales elípticas completas, para una solución ve esta respuesta:

$$p^2 \log p \int_{0}^{1} \sqrt{1-z^2} \sqrt{1-p^2z^2}dz=\frac{\log p}{3} \left((1+p^2)E(p)-(1-p^2)K(p) \right)$$

No estoy seguro de cómo resolver la segunda parte, pero con la ayuda de Mathematica pude obtener una forma 'cerrada':

$$\int_{0}^{1} \sqrt{1-z^2} \sqrt{1-p^2z^2} \log z~ dz=\frac{\pi}{8} \left(\text{Hypergeometric2F1Regularized}^{(0,0,1,0)}\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},2,p^2\right)+\text{Hypergeometric2F1Regularized}^{(0,1,0,0)}\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2},2,p^2\right)+\psi ^{(0)}\left(\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};2;p^2\right)\right)$$

Se hizo evaluando:

$$\int_{0}^{1}\sqrt{1-z^2} \sqrt{1-p^2z^2} ~~z^a~ dz$$

Luego tomando la derivada de $a$ y estableciendo $a=0$.

Esta forma 'cerrada' parece ser correcta, verifiqué usando los valores 'fáciles' $p=0$ y $p=1$, da los mismos valores que la integración directa.