Deja $|G|=35$.
Quiero demostrar que G tiene un subgrupo normal de orden 5 y un subgrupo normal de orden 7.
Mi intento:
$|G|=35=5^17=7^15.$
$n_5( \text{el número de grupos de Sylow de 5})=(1+5k)|7$. Pero solo 7 y 1 dividen a 7 y $1+5k\neq 7 \forall k \geq 0$. Por lo tanto, concluimos que $n_5=1$
Ahora podemos notar que $|gHg^{-1}|=|H|$ Así que considerando que sabemos que el grupo de Sylow de 5 es un subgrupo de G, sabemos que $|gPg^{-1}|=|P|$ y dado que este es el único subgrupo de este orden, implica que $gPg^{-1}=P, \forall g\in G$ y por lo tanto P es normal.
De manera similar para $n_7$
$n_7=(1+7k)|5$ lo cual implica (por las mismas razones mencionadas anteriormente) que k=0 y $n_7=1$
Ahora utilizamos un argumento idéntico al anterior para mostrar que P también es normal aquí
Nota: He usado P tanto para el caso del subgrupo de Sylow de 5 como para el subgrupo de Sylow de 7 pero creo que el contexto es obvio.
