Supongamos que tenemos una curva $C$ de género $g\geq 4$ que no es hiperelíptica. Entonces tenemos la incrustación canónica $\phi_K: C\longrightarrow \mathbb{P}^{g-1}$ y así $\phi_K(C)\simeq C$. En Geometría de curvas algebraicas, a menudo se pide encontrar las "ecuaciones de la curva canónica $\phi_K(C)$". Dado que hay un isomorfismo con $C$, ¿qué ecuaciones se están pidiendo? ¿Y cómo se pueden encontrar?
Respuesta
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Pregunta: "Dado que hay un isomorfismo con C, ¿para qué ecuaciones se pide? ¿Y cómo se encuentran?"
Respuesta: El haz canónico $\omega_C:=\Omega^1_{C/k}$ es un haz invertible en $C$ (cuando $C$ es regular). En la Proposición II.7.4 en Hartshorne encontrarás una relación entre morfismos $\phi: C \rightarrow \mathbb{P}^n_k$ y secciones globales $s_0,..,s_n\in H^0(C, \omega_C)$ de $\omega_C$. Existe una correspondencia 1-1 entre clases de equivalencia de sobreyecciones
$$\phi^*: \mathcal{O}_C^{n+1} \rightarrow \omega_C \rightarrow 0$$
y mapas $\phi: C \rightarrow \mathbb{P}^n_k$ sobre $k$. Con algunas condiciones adicionales, el mapa $\phi$ será una incrustación llamada la "incrustación canónica" (HH, Capítulo IV.5).
Nota: El mapa $\phi$ no es canónico: dados dos conjuntos de secciones $S:s_0,..,s_n$ y $T:t_0,..,t_n$, los dos mapas correspondientes $\phi_S, \phi_T$ diferirán por un $k$-automorfismo del espacio proyectivo.
En la Proposición HH.II.7.2.2 construyes (localmente) el ideal $I(C) \subseteq k[x_0,..,x_n]$ de la curva incrustada $\phi(C)$. Localmente, es el núcleo $I(C)_i$ del mapa
$$\rho_i: k[y_i] \rightarrow \Gamma(C_i, \mathcal{O}_{C_i})$$
definido por $\rho_i(y_j):=s_j/s_i$ y $I(C)_i:=ker(\rho_i)$. Esto da (localmente) ecuaciones que definen la curva $\phi(C) \cap D(x_i) \subseteq \mathbb{P}^n_k$. Por lo tanto, debes estudiar la relación entre haces invertibles y mapas al espacio proyectivo en HH.CH.II.7. Calculas un conjunto de secciones globales $s_i \in \Gamma(C, \omega_C)$ y construyes los "cocientes"
$$s_j/s_i \in \Gamma(C_i, \mathcal{O}_{C_i}).$$
Este proceso implica elegir una base local para el haz invertible $\omega_C$. Por lo tanto, las secciones $s_i$ son secciones globales de $\omega_C$, pero puedes construir de manera bien definida secciones de $\mathcal{O}_C$ sobre $C_i$ y esto define el mapa $\rho_i$.
Nota: Tu curva $C$ se construye o bien mediante pegado o como una curva incrustada en algún espacio proyectivo $C \subseteq^i \mathbb{P}^n_k$ pero el haz canónico $\omega_C$ es intrínseco y no depende de la incrustación $i$, por lo tanto, la incrustación canónica $\phi_K(C)$ es intrínseca a la curva - por esta razón se le llama la "curva canónica" de $C$.
Ejemplo: Para la recta proyectiva $\mathbb{P}^1$, el haz invertible $\mathcal{O}(d)$ ($d\geq 2$) da lugar a la $d$-upla incrustación
$$v_d: \mathbb{P}^1 \rightarrow \mathbb{P}^d.$$
Puntualmente, este es el mapa
$$v_d(a_0:a_1):=(a_0^d:a_0^{d-1}a_1:\cdots :a_1^d),$$
y debes calcular el ideal correspondiente $I(\mathbb{P}^1) \subseteq k[x_0,..,x_d]$ usando Prop.II.7.2. El haz canónico de la recta proyectiva es $\mathcal{O}(-2)$ y por lo tanto no hay una incrustación canónica en esta situación.
Aquí encuentras una construcción elemental y "teórica de esquemas" de la incrustación de Veronese usando este principio:
Una construcción explícita de la "incrustación de Veronese".
