Grupo fundamental de un grafo

Question

Sea $G$ un grafo conectado y $\Omega$ su cobertura universal. Sea $\gamma_1, \dots, \gamma_r$ generadores libres de $\Gamma:=\pi_1(G)$, $v\in\Omega$ un vértice y $s_i$ un camino desde $v$ hasta $\gamma_i v$. Consideremos $T:=\cup_{\gamma} \gamma(\cup_{i=1}^r s_i)$, ¿es cierto que $\Omega$ es homotópico a $T$? Si no, ¿qué condiciones sobre $G$ garantizan la igualdad? Si $T$ es homotópico a $\Omega$, ¿existe alguna afirmación de unicidad como para cada arista $e$ de $\Omega$ existe un $i$ único y un $\gamma\in\Gamma$ tal que $e$ es homotópico a $\gamma s_i$?

También se agradecen las referencias.

Gracias

Answer 1

Existe una manera fácil de construir la cubierta universal de un grafo conexo. Básicamente, eliges cualquier vértice de $G$ y para este vértice creas un vértice "central" $r$ en $\Omega$. Luego añades recursivamente para cada vértice añadido en la iteración anterior un vértice conectado a ese vértice en $\Omega$ por cada vértice "no retrocedente" conectado a ese en $G$. Esto significa que si $G$ es un árbol, entonces $\Omega = G$, y si $G$ tiene al menos un ciclo, entonces $\Omega$ es un árbol infinito contable que intuitivamente "separa" todos los caminos no retrocedentes en un árbol, casi "desenrollando" todos los ciclos por sí mismo.

Por ejemplo, para el grafo

Tenemos el comienzo de la cubierta universal:

Donde el árbol continúa hacia abajo infinitamente de la misma manera.

Entonces, afirmar que $T$ es homotópicamente equivalente a $\Omega$ es afirmar que es contractible, o un árbol en sí mismo. Creo que esto siempre es cierto.