Prueba del teorema de Bloch: propiedad de $h(r)$

Question

Teorema de Bloch. Sea $f$ una función analítica en una región que contiene el cierre del disco $D= \lbrace z ; |z|<1 \rbrace$ y que satisface $f(0)=0$ y $f'(0)=1$, entonces existe un disco $S\subset D$ en el cual $f$ es biyectiva y tal que $f(S)$ contiene un disco de radio $1/72$.

Prueba. Sea $K(r)=\max \lbrace|f'(z)| ; |z|=r\rbrace$ y sea $h(r)=(1r)K(r)$. Es fácil ver que $h:[0,1]\mathbb{R}$ es continua, $h(0)=1$, $h(1)=0$. Sea $r_{0}=\sup \lbrace r ; h(r)=1\rbrace$; entonces $h(r_{0})=1$, $r_{0}<1$ y $h(r)<1$, si $r>r_{0}$.

¿Por qué tenemos que $h(r)<1$, si $r>r_{0}$?

¿Cómo podemos mostrar que $h$ es continua?

Answer 1

Supongamos que $r > r_0$ y $h(r) > 1$. Miremos a $h$ en $[r,1]$. Dado que $h(r) > 1$ y $h(1) = 0$, existe $s \in (r,1]$ tal que $h(s) = 1$. Pero esto contradice la definición de $r_0$.

La continuidad de $h$ se sigue del hecho de que $K(r) = \sup \{ |f'(z)| : |z| \leq r\}$ y de que $f'$ es uniformemente continua en bolas cerradas.